Grenzwertbestimmung, L'Hospital

22.06.2012, 15:51

annemmi

Grenzwertbestimmung, L'Hospital

Meine Frage:
Untersuchen Sie ob folgender Grenzwert existiert und bestimmen Sie ihn ggf.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2} \frac{1}{x} (\frac{1}{2-x} - \frac{12}{8-x^{3} } ) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich hab alles erst einmal ausmultipliziert, sodass dann rauskam
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2} \frac{-x^{3}-+x-16 }{x(x^{4}-2x^{3}-8x+16)} \end{eqnarray*}$

Und dann L'Hospital angewendet, also erst mal: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{g(x)} \end{eqnarray*}$

Dann hab ich die Ableitungen jeweils bestimmt:
f(x)=-x^3+x-16, f'(x)=-3x²+1
g(x)= x^5-2x^4-8x²+16x, g'(x)=5x^4-8x³-16x+16

Also $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2} \frac{f'(x)}{g'(x)} = - \frac{-3x^{2}+1}{5x^{4}-8x^{3}-16x+16} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \forall x<2 \end{eqnarray*}$ , da g'(2)=0

Jetzt bin ich erst mal soweit. Kann ich nun direkt sagen
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2} \frac{f'(x)}{g'(x)} = - \frac{-3x^{2}+1}{5x^{4}-8x^{3}-16x+16} >\frac{-3}{5x^{2}} \end{eqnarray*}$
und somit wär mein Grenzwert $\begin{eqnarray*} \frac{-3}{20} \end{eqnarray*}$ ?
Oder muss noch was dazu bzw ist das von vornerein falsch?

Vielen Dank schon mal für die Hilfe smile

22.06.2012, 16:06

tageslaterne

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Zitat:

Original von annemmi

Meine Ideen:
Ich hab alles erst einmal ausmultipliziert, sodass dann rauskam
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2} \frac{-x^{3}-+x-16 }{x(x^{4}-2x^{3}-8x+16)} \end{eqnarray*}$

Du hast den Ausdruck falsch zusammengefasst und deshalb ist die Ableitung ebenfalls falsch.

Ausserdem solltest du immer zuerst beweisen, bzw. angeben, wieso du den Satz von L'hôptial überhaupt verwenden darfst.
Zur Erinnerung: Zähler und Nenner müssen BEIDE nach +/- unendlich streben oder beide nach 0 und der Grenzwert muss existieren.

24.06.2012, 07:18

annemmi

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Ok stimmt. Also es muss heißen :
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2} \frac{-x^{3}+12x-16}{x(x^{4}-2x^{3}-8x+16)} \end{eqnarray*}$

Und dann sind sowohl f(2) als auch g(2) gleich Null. Und somit darf ich L'Hospital anwenden. Oder?

Und ich hab jetzt noch mal einen anderen Weg probiert. Also die Ableitungen sind
$\begin{eqnarray*} f'(x)=-3x^{2}+12 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} g'(x)=5x^{4}-8x^{3}-16x+16 \end{eqnarray*}$

und dann hab ich weiter abgeleitet, sodass:
$\begin{eqnarray*} f'''(x)=-6 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} g'''(x)=60x^{2}-48x \end{eqnarray*}$

dann ist
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x \to 2} \frac{f'(x)}{g'(x)} = ...= \lim_{x \to 2} 2 \frac{f'''(x)}{g'''(x)} = - \frac{1}{24} \end{eqnarray*}$

24.06.2012, 07:31

Bernhard1

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Hallo annemmi,

schau Dir doch mal die zweite Ableitung etwas genauer an Augenzwinkern

. Die hast Du hier einfach übersprungen. Aber ergibt sich da bei x=2 auch wirklich ein unbestimmter Ausdruck für den Grenzwert x->2 ?

24.06.2012, 08:49

HAL 9000

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Warum überhaupt ableiten? Zunächst mal ist dein gemeinsamer Nenner wegen $\begin{eqnarray*} 8-x^3 = (2-x)(x^2+2x+4) \end{eqnarray*}$ schon überkompliziert: Tatsächlich kann man

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2-x} - \frac{12}{8-x^3} = \frac{x^2+2x+4-12}{(2-x)(x^2+2x+4)} = -\frac{(x-2)(x+4)}{(x-2)(x^2+2x+4)}= -\frac{x+4}{x^2+2x+4} \end{eqnarray*}$

umformen, womit sich jede Ableitung erübrigt.

24.06.2012, 20:30

annemmi

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Oh ja, tatsächlich. Manchmal sieht man halt vor lauter Bäumen den Wald nicht mehr - danke Augenzwinkern

Das heißt, dann hab ich da stehen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2} \frac{1}{x} (-\frac{x+4}{x^{2}+2x+4} ) \end{eqnarray*}$
Kann ich denn jetzt x=2 einsetzen. Denn x soll ja gegen 2 gehen, erreicht die 2 also eigentlich nie. Oder darf ich das doch und hätte dann den Grenzwert=-1/4? (Ja, ich weiß, das ist eine grundlegende Frage. Tut mir leid.)

25.06.2012, 00:17

tageslaterne

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du "setzt" den Wert nie ein, du berechnest immer den Grenzwert. Wenn das x nicht nach 2, sondern nach unendlich streben würde, könntest du den Bruch durch die grösste vorkommende Potenz, hier $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ im Zähler und Nenner teilen und schauen was passiert.
Wenn du "einfach x=2 einsetzt", kann es passieren, dass du einen unbestimmten Ausdruck vom Typ $\begin{eqnarray*} \frac \infty \infty \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac C 0 \end{eqnarray*}$ usw erhälst.

Eine elegante Lösungsvariante bzw Hilfe ist, dass du jedes x durch $\begin{eqnarray*} x_0 + \frac 1 n \end{eqnarray*}$ und dann den lim durch $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} ... \end{eqnarray*}$ ersetzt. (Nullfolgen)
$\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ bezeichnet dabei den Grenzwert, hier also 2.

25.06.2012, 11:15

HAL 9000

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Tatsächlich ist es so, dass sich die beiden Funktionen

$\begin{eqnarray*} f_1(x) = \frac{1}{x} \left( \frac{1}{2-x} - \frac{12}{8-x^3} \right) = -\frac{(x-2)(x+4)}{x(x-2)(x^2+2x+4)} \end{eqnarray*}$

sowie das daraus dann durch das Kürzen von $\begin{eqnarray*} (x-2) \end{eqnarray*}$ enstandene

$\begin{eqnarray*} f_2(x) = -\frac{x+4}{x(x^2+2x+4)} \end{eqnarray*}$

nur an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ unterscheiden: Die erste Funktion hat da eine "hebbare Unstetigkeit", die bei der zweiten Funktion dann geschlossen wurde. Insofern ist dann

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 2} f_1(x) = \lim_{x\to 2} f_2(x) = f_2(2) = -\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

eine vollkommen richtige Berechnungsweise. Nicht richtig wäre es, rechts da einfach $\begin{eqnarray*} f_1(2) \end{eqnarray*}$ zu schreiben, denn an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ ja nicht definiert.

25.06.2012, 11:32

Bernhard1

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Zitat:

Original von annemmi
Kann ich denn jetzt x=2 einsetzen.

Natürlich. Sowohl Zähler als auch die beiden Nenner bleiben völlig "gutartig".

Zitat:

und hätte dann den Grenzwert=-1/4?

und damit das korrekte Ergebnis gefunden. Über die zweite (von Dir übergangene) Ableitung und damit über die l'Hospitalsche Regel bekommt man genau das gleiche Ergebnis Augenzwinkern

29.06.2012, 21:21

annemmi

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Ok, cool. Vielen Dank!!

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