Eigenräume einer symmetrischen 4x4 Matrix berechnen

22.06.2012, 18:13

Enrico

Eigenräume einer symmetrischen 4x4 Matrix berechnen

Meine Frage:
Hallo, wie der Titel schon sagt versuche ich die Eigenräume der symmetrischen Matrix:
A= -2 1 1 1
1 -2 1 1
1 1 -2 1
1 1 1 -2
zu bestimmen. Das charakteristische Polynom ?^4+8?^3+18?^2-27 ist gegeben. Die Eigenwerte -3 (algebraische Vielfachheit:3) und 1 (algebraische Vielfachheit:1) hab ich bereits berechnet.

Meine Ideen:
Ich check allerdings noch nicht so durch in dem Gebiet und bin mir nicht sicher ob folgender Lösungsweg richtig ist: ich rechne A-?I und setzte jeweil für lamda den EW ein
für den EW=-3 bekomme ich eine 4x4 Matrix mit nur 1en.
Das heißt dann das alle Zeilenvektoren linear abhängig sind. Also ziehe ich zb. von den letzten 3 Zeilen die erste ab und hab somit ein
Gleichungssystem von: 1 1 1 1 = 0
wie gehts den jetzt weiter?
Danke im Vorraus

22.06.2012, 20:18

DP1996

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Deine bisherigen Ergebnisse stimmen alle, auch das Gleichungssystem. Freude

Setz mal zwei deiner vier Variablen =0 und überleg dir, was dann wohl für die anderen beiden gilt.

23.06.2012, 12:16

Enrico

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Danke für deine Antwort.
Dann hab ich x1+x2=0 oder x1=-x2.
aber was sollte mir das sagen?

23.06.2012, 12:26

DP1996

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Das sollte dir sagen, dass $\begin{eqnarray*} \left< \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right> \end{eqnarray*}$ schon mal Teil (genauer: Untervektorraum) deines Lösungsraumes ist.

Jetzt setze mal $\begin{eqnarray*} x_2=x_4=0 \end{eqnarray*}$ ...

23.06.2012, 12:49

Enrico

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bedeutet das dass:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
alles Untervektorräume sind?

23.06.2012, 12:54

DP1996

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Ja, allerdings sind viele davon einander identisch, die kannst du getrost rauswerfen. Zum Schluss sollten maximal 3 übrigbleiben (geometrische Vielfachheit ist kleiner oder gleich algebraischer Vielfachheit)

23.06.2012, 13:09

Enrico

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ok, aber welchen von denen sind jetzt noch gleich? $\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und warum?

23.06.2012, 13:13

DP1996

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gleich sind die nicht mehr, aber die Vektoren sind linear abhängig. Ich würde die ersten drei nehmen.

23.06.2012, 13:29

Enrico

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1.ich versteh nicht wieso genau die ersten 3, einfach weil die geometrische Vielfachheit <=algebraische Vielfachheit sein muss? könnte ich auch die letzten 3 nehmen?

2. Wären diese 3 Eigenvektoren?

3. Wäre der Eigenraum dann
E(-3)= $\begin{eqnarray*} \left\{ \alpha \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +\beta \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} +\gamma \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}|\alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$
?

23.06.2012, 13:48

Bernhard1

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Zitat:

Original von Enrico
könnte ich auch die letzten 3 nehmen?

Ja, weil die ebenfalls linear unabhängig sind. Es müssen nur drei linear unabhängige Eigenvektoren sein, weil hier die geometrische gleich der algebraischen Vielfachheit ist, siehe dazu: http://de.wikipedia.org/wiki/Diagonalmatrix. Du berechnest hier im Prinzip gerade eine Hauptachsentransformation.

Zitat:

2. Wären diese 3 Eigenvektoren?

Ja. Das hast Du doch selbst ausgerechnet.

Zitat:

3. Wäre der Eigenraum dann
E(-3)= $\begin{eqnarray*} \left\{ \alpha \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +\beta \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} +\gamma \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}|\alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$
?

Ja.

23.06.2012, 15:26

Enrico

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1. Ich versteh ich immernoch nicht warum diese Vektoren linear abhängig sind?
$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

2. soll ich zwei zueinander orthogonale Eigenvektoren sowie eine Basis des R^4 aus Eigenvektoren von A angeben.

Wäre somit ein bel. Eigenvektor vom EW=-3 und der Eigenvektor vom EW=1 orthogonal zu einander? und alle 4 Eigenvektoren eine Basis des R^4?

23.06.2012, 21:35

Bernhard1

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Zitat:

Original von Enrico
1. Ich versteh ich immernoch nicht warum diese Vektoren linear abhängig sind?

Hallo Enrico,

diese zwei Vektoren sind nicht linear abhängig. Es liegt also ein Mißverständnis vor. Zur Lösung verrate ich Dir

1.) dass die vorgegebene Matrix zwei Eigenräume besitzt. Der erste ist dreidimensional und der zweite eindimensional. Alles andere ist vorerst für die Lösung der Aufgabe ganz unwichtig.
2.) Dass Du den dreidimensionalen Eigenraum bereits korrekt berechnet hast. Er lautet:

Zitat:

Original von Enrico
E(-3)= $\begin{eqnarray*} \left\{ \alpha \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +\beta \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} +\gamma \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}|\alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$

Die von Dir angegebenen Vektoren sind linear unabhängig und bilden deswegen eine Basis dieses Eigenraumes.

Die von Dir weiter oben angegebenen vier Vektoren hängen wie folgt zusammen:

$\begin{eqnarray*} <br /> \; - \; \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \; - \; \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \; + \; \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \; = \; \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

mit den Vektoren aus diesem Beitrag:

Zitat:

Original von Enrico
ok, aber welchen von denen sind jetzt noch gleich? $\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Um die Aufgabe fertig zu lösen fehlt jetzt nur noch der eine Eigenvektor des eindimensionalen Eigenraumes. Ob dieser Eigenvektor auf allen drei Basisvektoren des anderen Eigenraumes senkrecht steht, kann man dann als Fleißaufgabe ganz zuletzt auch noch ausrechnen, aber das geht dann schon über die gestellte Aufgabe hinaus Augenzwinkern

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