f(x) = const. für f(R) teilmenge Q & f stetig

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22.06.2012, 18:26	Jens92	Auf diesen Beitrag antworten »
f(x) = const. für f(R) teilmenge Q & f stetig Meine Frage: f: R -> R, ist stetige funktion mit $\begin{eqnarray} f(\mathbb R )\subset \mathbb Q \end{eqnarray}$ . Zeige das f bereits eine konstante Funktion sein muss. Meine Ideen: komme da nicht so richtig klar... für die Rückrichtung kann ich ja einfach sagen f(x) = c elemtn aus Q. für die Hinrichtung weiß ich nicht genau was ich zeigen, soll bzw wie ich das zu verstehen habe, was da steht. ich weiss es gilt: lim f(x_n) = f(x_0) für alle Folgen x_n aus R mit lim x_n = x_0 bzw lim (x->a) f(x) = f(a) nur warum muss das eine konstante funktion sein? kann ich sagen. Annahme: f sei nicht konstant => es ex. eine folge x_n mit, lim f(x_n) = f(x_0) elements aus R? was ja ein wiederspruch zu der Teilmenge von Q ist?
22.06.2012, 22:30	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: f(x) = const. für f(R) teilmenge Q & f stetig Mit dem Zwischenwertsatz ist die Aussage ein Einzeiler.
23.06.2012, 10:41	Jens92	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: f(x) = const. für f(R) teilmenge Q & f stetig Es sei $\begin{eqnarray} f: [a,b] \to \mathbb R \end{eqnarray}$ eine stetige reelle Funktion, die auf einem Intervall definiert ist. Dann existiert zu jedem $\begin{eqnarray} u\in [f(a), f(b)] \end{eqnarray}$ (falls $\begin{eqnarray} f(a)\leq f(b)) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} u\in [f(b), f(a)] \end{eqnarray}$ (falls $\begin{eqnarray} f(b)\leq f(a)) \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} c\in [a,b] \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f\left(c\right)=u. \end{eqnarray}$ aber dachte das geht nur für ein geschlossenes Intervall....wir wissen jetzt ja nur das f(R) teilmenge Q ist...wie erkenne ich daraus ein geschlossenes Intervall? verstehe nicht wie ich da eine aussage über eine konstante funktion machen kann...sorry ana liegt mir net so dolle
23.06.2012, 10:46	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: f(x) = const. für f(R) teilmenge Q & f stetig Nimm an die Funktion ist nicht konstant. D.h. es gibt x und y mit f(x) = s und f(y) = t, wobei s und t unterschiedliche rationale Zahlen sind. Ohne Einschränkungen nehmen wir an, dass s < t ist. Was können wir nun über die Funktion auf dem Intervall [s,t] sagen?
23.06.2012, 10:56	Jens92	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: f(x) = const. für f(R) teilmenge Q & f stetig das es ein c gibt was dazwischen liegt? also f(x) = s < f(p) = c < f(y) = t, also c =f(p) aus [s,t] ich kann also immer einen weiterenbildpunkt finden der dazwischen liegt. [s,t] ist ja ein intervall in der Zielmenge R also [f(x), f(y)]
23.06.2012, 11:02	Jens92	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: f(x) = const. für f(R) teilmenge Q & f stetig achso...hab ich das falsch verstanden im satz? soll das f(p) = c aus dem grund "c" sein weil damit gemeint ist konstant? dann hätte ich ja einen wiederspruch...nur darf ich einfach sagen, das f(x) < f(y)? geht das weil es wieder in Q liegen soll?
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23.06.2012, 11:06	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: f(x) = const. für f(R) teilmenge Q & f stetig Jedes (!) c zwischen f(s) und f(t) ist vertreten. Und gleichzeitig weißt du, dass f( [s,t] ) nur rationale Zahlen sind. Du musst einen Widerspruch darin finden. Und nein, c ist einfach nur ein Variabenname.
23.06.2012, 11:14	Jens92	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: f(x) = const. für f(R) teilmenge Q & f stetig dann würde auch eine irrationale zahl existieren, zb e ("eulersche zahl") mit f(e) aus [f(x), f(y)]...& das wäre dann der wiederspruch zu f(R) teilmenge aus Q?
23.06.2012, 11:22	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: f(x) = const. für f(R) teilmenge Q & f stetig Bitte schreib Widerspruch.... Aber ja, das ist die Idee. In dem Intervall existieren irrationale Zahlen, nach dem Zwischenwertsatz muss die Funktion auch die Zahlen treffen.
23.06.2012, 11:26	Jens92	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: f(x) = const. für f(R) teilmenge Q & f stetig okay danke dir für die hilfe ! (ja die rechtschreibung:P)...ich mache einfach nene blitz drunter mit begründung^^

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