Integral x^3*Wurzel(1-x^2) berechnen

23.06.2012, 13:46

spratze

Integral x^3*Wurzel(1-x^2) berechnen

Meine Frage:
Hallo,

ich habe folgende Aufgabe:
Berechnen Sie folgendes Integral:

$\begin{eqnarray*} \int \! x^{3}*\sqrt{1-x^{2} } \, dx \end{eqnarray*}$

Benutzen Sie eine Substitution 1. Art.

Meine Ideen:
Ich hatte jetzt erst überlegt, die Substitution x=sin(t) zu verwenden ..

Gelange nach Umformen auf

$\begin{eqnarray*} \int \! sin^3(t) - sin^5(t) \, dt \end{eqnarray*}$

Ist es soweit richtig? Wenn ja, weiß ich leider nicht so recht weiter .. Hatte versucht, die Formel
$\begin{eqnarray*} \int \! sin^n \, dx = \frac{sin^{n-1}x*cos(x)}{n} + \frac{n-1}{n} * \int \! sin^{n-2}x \, dx \end{eqnarray*}$
zu verwenden, allerdings komm ich da nicht weiter.

Kann mir vllt jmd einen Anstoß geben und mir sagen, ob ich überhaupt auf dem richtigen Weg bin?

danke

23.06.2012, 13:56

Cheftheoretiker

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RE: Integral x^3*Wurzel(1-x^2) berechnen
Die Substitution ist schonmal korrekt gewählt. Wenn wir nun $\begin{eqnarray*} sin^3t \end{eqnarray*}$ ausklammern, erhalten wir,

$\begin{eqnarray*} \int sin^3t(1-sin^2t)dt \end{eqnarray*}$

Nun kommt die trigonometrische Identität zum Einsatz, $\begin{eqnarray*} sin^2+cos^2=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos^2=1-sin^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int sin^3t(cos^2t)dt \end{eqnarray*}$

Nun musst du noch $\begin{eqnarray*} cost \end{eqnarray*}$ substituieren. Augenzwinkern

23.06.2012, 14:02

spratze

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ist es richtig, dass ich substituiere:

$\begin{eqnarray*} cos(t)=u \end{eqnarray*}$

dann hab ich $\begin{eqnarray*} \int \! sin^3(t)*(u^2) \, dt \end{eqnarray*}$ ... ist das richtig?

23.06.2012, 14:15

Cheftheoretiker

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Ich sehe gerade, der Vorschlag $\begin{eqnarray*} cost \end{eqnarray*}$ zu substituieren führt nicht zum Ziel.
Dann machen wir es anders,

$\begin{eqnarray*} \int sint\cdot sin^2t\cdot cos^2tdt \end{eqnarray*}$

trigonometrische Identität angewendet,

$\begin{eqnarray*} \int sint\cdot(1-cos^2t)cos^2tdt \end{eqnarray*}$

Nun $\begin{eqnarray*} cost \end{eqnarray*}$ substituieren, dann sollte es klappen. smile

23.06.2012, 14:23

Leopold

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Hinweis: Man kann auch mit

$\begin{eqnarray*} u = \sqrt{1-x^2} \, , \ \ \dd u = \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}} ~ \dd x \end{eqnarray*}$

beginnen. Dann geht das so:

$\begin{eqnarray*} x^3 \sqrt{1-x^2} ~ \dd x = \frac{x^3 (1-x^2)}{\sqrt{1-x^2}} ~ \dd x = - x^2 (1-x^2) \cdot \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}} ~ \dd x = -x^2 (1-x^2) ~ \dd u = (u^2 - 1) u^2 ~ \dd u \end{eqnarray*}$

23.06.2012, 14:29

original

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RE: Integral x^3*Wurzel(1-x^2) berechnen

Zitat:

Original von spratze

$\begin{eqnarray*} \int \! x^{3}*\sqrt{1-x^{2} } \, dx \end{eqnarray*}$

Ich hatte jetzt erst überlegt, die Substitution x=sin(t) zu verwenden ..

Gelange nach Umformen auf

$\begin{eqnarray*} \int \! sin^3(t) - sin^5(t) \, dt \end{eqnarray*}$

Hatte versucht, die Formel

$\begin{eqnarray*} \int \! sin^n \, dx = \frac{sin^{n-1}x*cos(x)}{n} + \frac{n-1}{n} * \int \! sin^{n-2}x \, dx \end{eqnarray*}$
zu verwenden, allerdings komm ich da nicht weiter.

ob ich überhaupt auf dem richtigen Weg bin?

ja,
du bist im Prinzip auf dem richtigen Weg - NUR: du hast die Rekursionsformel nicht ganz richtig
(Vorzeichen !) aufgeschrieben..

mit
$\begin{eqnarray*} \int \! sin^n(x) \, dx = S_{n} \end{eqnarray*}$
wird

$\begin{eqnarray*} S_{n} = - \frac{1}{n} \cdot sin^{n-1}x*cos(x) + \frac{n-1}{n} * \int \! sin^{n-2}x \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S_{n} = - \frac{sin^{n-1}x*cos(x)}{n} + \frac{n-1}{n} * S_{n-2} \end{eqnarray*}$

und du brauchst nun zum Weitermachen die Formeln ausgewertet für n=5 und für n=3

du hast ja zu berechnen $\begin{eqnarray*} S_{3} - S_{5} = ... \end{eqnarray*}$

probiers ..

nebenbei:
hm.. klappen sollts? .. mal sehen .. aber mir scheint eher , dass der Vorschlag von hangman zurück-kreist.. Prost

und: als Variante viel effektiver ist der Tipp von Leopold

23.06.2012, 14:37

spratze

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hab jetzt den Weg von Hangman genommen, der letztlich zu dem führt, was Leopold geschrieben hat:

bin jetzt bei

$\begin{eqnarray*} -\int\! (u^2-u^4) \, dx \end{eqnarray*}$

hab dann integriert und zurücksubstituiert und bin dann bei:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{5}*cos^5(t) - \frac{1}{3}*cos^3(t) + C \end{eqnarray*}$

aber jetzt hab ich Probleme, das zurück zu substituieren ..

23.06.2012, 14:47

original

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lies doch den Vorschlag von Leopold
- und zwar von Beginn an.. ->
da kommen keine Winkelfunktionen vor - oder? Wink

also denk genau mit..

23.06.2012, 15:15

spratze

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Ich hab's jetzt .. danke smile

Lösung ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{5}*(\sqrt{(1-x^2)^5}) - \frac{1}{3}*(\sqrt{(1-x^2)^3}) \end{eqnarray*}$

richtig?! smile

23.06.2012, 15:54

original

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Zitat:

Original von spratze

Lösung ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{5}*(\sqrt{(1-x^2)^5}) - \frac{1}{3}*(\sqrt{(1-x^2)^3}) \end{eqnarray*}$

richtig?!

- ja: richtig !

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{15} \cdot \sqrt{1-x^2}\cdot \left(x^2-1\right) \cdot \left(3x^2+2\right) \end{eqnarray*}$

.

23.06.2012, 16:04

Cheftheoretiker

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Mich würde noch die genaue Rücksubstitution interessieren, könnte die wohl mal jemand durchziehen? smile

25.06.2012, 14:46

Dopap

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bei einem bestimmten Integral muss ( müsste ) man nicht rücksubstituieren.

$\begin{eqnarray*} \int_a^b\,x^3\sqrt {1-x^2}\, \dd x=\int \limits_{\sqrt {1-a^2}}^{\sqrt {1-b^2}} -u^2+u^4 \,\dd u \end{eqnarray*}$

beim unbestimmten Integral müsste man nur

$\begin{eqnarray*} \frac 15 u^5 -\frac 13 u^3 + C ~\text {mit} ~ u=\sqrt {1-x^2} \end{eqnarray*}$ rücksubstituieren. Das ist doch kein Problem, oder was meinst du wirklich?

25.06.2012, 17:42

Cheftheoretiker

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Weil doch zwei mal substituiert wurde:
Als erstes $\begin{eqnarray*} x=sint \end{eqnarray*}$

und danach $\begin{eqnarray*} u=cost \end{eqnarray*}$

verwirrt

25.06.2012, 18:00

Dopap

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wenn ich das zusammenfasse:

$\begin{eqnarray*} x=\sin (t) \Rightarrow \sqrt {1-x^2} = \cos (t)\Rightarrow x=u \end{eqnarray*}$

( mach mir kein x für ein u vor Big Laugh

)

also nix gewonnen.

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