Parameterdarstellung-Tangentialebene

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23.06.2012, 17:17	_Montanist	Auf diesen Beitrag antworten »
Parameterdarstellung-Tangentialebene Hallo Leute Gegeben sei die Parameterdarstellung: $\begin{eqnarray} \vec{x} (u,v)=\begin{pmatrix} u³ \\ u\cos(v) \\ u\sin(v) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene im Punkt P=(1,1,0) der Fläche. Ansatz: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} u³ \\ u\cos(v) \\ u\sin(v) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x=u³ \Rightarrow u=\sqrt[3]{x} \end{eqnarray}$ setze ich dann in y ein durch umformungen komme ich dann auf $\begin{eqnarray} \sin(v) = \sqrt{\frac{-y^{2}}{\sqrt[3]{x}^{2} }+1 } \end{eqnarray}$ welches ich dann in z einsetze $\begin{eqnarray} \Rightarrow z= (-y²+x^{\frac{2}{3} } )^{\frac{1}{2} } \end{eqnarray}$ es gilt ja dann z= f(x,y) die formel für die tangentialebene versteh ich dann wieder nur ist da ein zwischenschritt es gibt hier in meinem formelskript $\begin{eqnarray} f_{x}(x0,y0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} F_{x}(x0,y0,z0) \end{eqnarray}$ da versteh ich jetzte nicht wie komme ich auf die $\begin{eqnarray} F_{x}, F_{y}, F_{z} \end{eqnarray}$ , sind partielle ableitungen JA aber woher!? ich wei0 nicht was die Funktion GROSS F ist Hoffe ihr könnt mir helfen Lg Paul
24.06.2012, 12:35	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
So weit hast du nach z richtig umgeformt. Für F(x; y; z) = 0 musst du nun noch auf Null bringen: $\begin{eqnarray} F = \sqrt[3]{x^2} - y^2 - z^2 = 0 \end{eqnarray}$ So kommt $\begin{eqnarray} \mathfrak {grad} F = \begin{pmatrix} ... \\ -2y \\ -2z \end{pmatrix} \ \text{und im Punkt} \ (1; 1; 0) \ \to \ \mathfrak {grad} F = \ldots \ \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Damit wird dir wohl letztendlich die Tangentialebene gelingen ... mY+
09.01.2015, 10:45	Montanuni	Auf diesen Beitrag antworten »
Parameterdarstellung-Tangentialebene Hallo leute, ich habe jetzt nur noch eine frage, wie genau komme ich dann auf das F, weil ich habe ja y noch nicht wirklich und wieso nehme ich z^2? vielen dank schon mal für die hilfe, lg thi
12.01.2015, 01:28	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Parameter u und v sind zu eliminieren: Aus der ersten Zeile der Vektorgleichung ist $\begin{eqnarray} u = \sqrt[3] x \end{eqnarray}$ und aus den Zeilen 2 und 3 folgt (nach Quadrieren und dem trigonometrischen Pythagoras) $\begin{eqnarray} y^2 + z^2 = u^2 \end{eqnarray}$ Nun setze unten in u den obigen Wert von x ein ... mY+
19.01.2015, 10:11	Montanuni	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank
05.02.2015, 12:59	Montana101	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich verstehe nicht, wie der Ersteller des Themas auf $\begin{eqnarray} sin(v)= \sqrt{\frac{-y^2}{\sqrt[3]{x^2} }+1 } \end{eqnarray}$ kommt. Könnte mir das bitte wer erklären? lg, Monti Edit (mY+): LaTex gut geschrieben, aber die Tags vergessen! Ausdruck markieren und den Button "f(x)" klicken! Bzw. ist der End-Tag [/latex]
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06.02.2015, 00:58	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus $\begin{eqnarray} y = u \cos v \ \to \ y^2 = u^2(1 - \sin^2 v) \end{eqnarray}$ umstellen: $\begin{eqnarray} u^2 \sin^2 v = u^2 - y^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \to \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sin^2 v = 1 - \frac{y^2}{u^2} = 1 - \frac{y^2}{\sqrt[3]{x^2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \to \ \sin v = \ldots \end{eqnarray}$ mY+
07.02.2015, 10:17	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Wäre es nicht einfacher, das totale Differential zu verwenden statt die Parameter zu eliminieren?
08.02.2015, 03:15	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie würde das deiner Ansicht nach funktionieren? Der Gradient wird ja mittels des totalen Differentials berechnet. Das totale Differential enthält die partiellen Ableitungen von f nach x, y und $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ mY+
08.02.2015, 08:03	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
@URL: man kann die Tangentialebene in parametrisierter Form schreiben und darin kommen die beiden partiellen Ableitungen nach u und v vor: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \vec S(u_0,v_0)+\vec S_u(u_0,v_0)(u-u_0)+ \vec S_v(u_0,v_0)(v-v_0) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec S(u,v) \quad \text { ist das} \quad \vec x (u,v) \end{eqnarray}$ vom Threadsteller. Das ist die Tangentialebene für den "Parameterpunkt" $\begin{eqnarray} (u_0,v_0) \end{eqnarray}$ Das funktioniert hier aber nur, wenn man dem Berührpunkt P(1,1,0) eindeutig ein $\begin{eqnarray} (u_0,v_0) \end{eqnarray}$ zuordnen kann.
08.02.2015, 08:50	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
@mYthos: Ich hätte genauer vom totalen Differential von S schreiben sollen. Für die Tangentialebene benutzt man dann die Taylorentwicklung der Parameterfunktion S, so wie Dopap sie aufgeschrieben hat. @Dopap: Hier bekommt man aus $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}u_0^3\\u_0\cos(v_0)\\u_0\sin(v_0)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ direkt $\begin{eqnarray} u_0=1, \cos(v_0)=1, \sin(v_0)=0 \end{eqnarray}$ und mehr wird hier in der Taylorentwicklung auch nicht eingesetzt. Um (das mehrdeutige) $\begin{eqnarray} v_0 \end{eqnarray}$ muss man sich also keine Gedanken machen. Ich dachte, ich wäre auf dem falschen Dampfer. Besten Dank!
08.02.2015, 16:38	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
So weit ist dies zwar verständlich, aber es endet nun damit, dass die beiden Richtungsvektoren in P(1; 1; 0) sind Su = (3; 1; 0) und Sv = (1; 0; 1), daher der Normalvektor der Tangentialebene (1; -3; -1) und der ist nicht gleich dem zuvor ausgerechneten Gradientenvektor (1; -3; 0) Wo steckt der Fehler? mY+
08.02.2015, 16:45	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe Sv=(0;0;1)
10.02.2015, 01:03	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
DAS war's, thx! Dummer Fehler, die Ableitung von u nach v ist ja 0 und nicht 1

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