Methode der Charakteristiken

23.06.2012, 18:05	peterchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Methode der Charakteristiken Hallo zusammen, ich soll die PDE $\begin{eqnarray} \frac{ \partial u(x,t)}{ \partial t} &= - \frac { \partial(u(x,t) \cdot v(x))}{ \partial x} \end{eqnarray}$ nach der Methode der Charackteristiken lösen. Bildet man das partielle Differential der rechten Seite, so bekommt man $\begin{eqnarray} \frac{ \partial u(x,t)}{ \partial t} &= -( v(x) \frac{\partial u(x,t)}{\partial x} + u(x,t) \frac {\partial v(x)}{\partial x} ) \end{eqnarray}$ . Das sieht dem, was im wiki steht sehr ähnlich, ist aber leider nicht identisch. Mein Prof. behauptet dass es ginge, aber mir fehlt leider der Ansatz. Die Suchfunktion half mir leider auch nicht weiter, daher wende ich mich jetzt an euch. Vielen Dank schon mal im Vorraus.
24.06.2012, 13:27	peterchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Darf ich das Obige wie folgt umformen, oder mache ich es mir zu einfach? Besonders beim 2. Schritt bin ich mir unsicher. 1.: $\begin{eqnarray} <br /> \frac{\partial u(x,t)}{\partial t} + v(x) \frac{\partial u(x,t)}{\partial x} &= - u(x,t) \frac {\partial v(x)}{\partial x} )<br /> \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} v(x) \end{eqnarray}$ nur von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ abhängt: 2.: $\begin{eqnarray} <br /> \frac{\partial u(x,t)}{\partial t} + v(x) \frac{\partial u(x,t)}{\partial x} &= - u(x,t) \cdot \frac{d v(x)}{dx}<br /> \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} v(x)=-K(x-x') \end{eqnarray}$ 3.: $\begin{eqnarray} <br /> \frac{\partial u(x,t)}{\partial t} + v(x) \frac{\partial u(x,t)}{\partial x} &= u(x,t) \cdot K<br /> \end{eqnarray}$ Ich arbeite mich gerade erst wieder in PDEs ein, bin also für sämtliche Kritik dankbar.
26.06.2012, 21:28	peterchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur für den Fall, dass jemand anders das gleiche Problem bekommt und das hier ließt: Obiges sollte stimmen. Unter http://people.ee.ethz.ch/~lelsen/materials/AIII_Chap2_lelsen.pdf gibt es eine recht gute Einführung in das Thema

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