Extremwertaufgabe: Möglichst schnell von A nach B

23.06.2012, 19:02	habnixahnung	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe: Möglichst schnell von A nach B Meine Frage: Die Aufgabe lautet wie folgt: Eine Wanderung führt durch die Dörfer A und B. Dorf A liegt an einem 3km breiten Fluss. Dorf B liegt in 12 km Entfernung (Luftlinie) von Dorf A am gegenüberliegenden Ufer des Flusses. Der Fluss verläuft zwischen den Dörfern geradlinig. Entlang des gegenüberliegenden Ufers führt ein Wanderweg. Der Fluss kann von Dorf A aus mit einem Boot überquert werden, das 2,5 km in der Stunde zurücklegt. Zu welchem Punkt des gegenüberliegenden Ufers sollte das Boot übersetzen, damit ein Wanderer, der 6km pro Stunde zurücklegt, möglichst schnell von A nach B gelangt ? Meine Ideen: eine Bedingung habe ich zusammen bekommen: (Bootsstrecke/2,5)+(Landstrecke/6)= (muss minimal werden) ich weiß nicht ob das richtig ist und mir fehlt eine zweite Bedingung. schon mal danke für eure Hilfe gruß
23.06.2012, 19:53	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe Die zweite Bedingung sind die Entfernungen bzw. die Längen der einzelnen Strecken. Dazu musst du ein x einführen und die unbekannte Strecke von A zur Stelle auf der Flussseite von A direkt gegenüber von B (du kannst diesen Punkt D nennen) berechnen. Nenne die unbekannte Strecke von A zum Übersetzpunkt C, die Strecke von C nach D nenne x. Stelle die Gleichungen für AC und CB mit Hilfe des Pythagoras auf. edit: Zur Verdeutlichung mal eine Skizze: [attach]25045[/attach]
23.06.2012, 21:36	habnixahnung	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich habe jetzt: CB= Wurzel(x^2+9) AC= Wurzel(135)-x aber wenn ich das in die andere Bedingung einsetze, bekomme ich nach Ableitung keine Nullstelle ?!?!
23.06.2012, 21:40	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Strecken stimmen. Aber was meinst du mit "bekomme ich nach Ableitung keine Nullstelle"? Du setzt die Ableitung Null und errechnest x.
23.06.2012, 22:08	habnixahnung	Auf diesen Beitrag antworten »
dann bekomme ich diese Fkt. $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{x^2+9} }{2,5} +\frac{\sqrt{135}-x }{6} \end{eqnarray}$ und die Ableitung davon: $\begin{eqnarray} \frac{2x}{5\sqrt{(x^2)+9}}-\frac{1}{6} \end{eqnarray}$ dann ist die Nullstelle $\begin{eqnarray} x=\frac{5}{2\sqrt{3(54+\sqrt{2941} }) } \end{eqnarray}$ und das ist $\begin{eqnarray} x=0,1387406008 \end{eqnarray}$ aber bei der Probe ist das nicht der schnellste Weg und danke, dass du dir die Zeit nimmst
23.06.2012, 22:17	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Soweit stimmt es: $\begin{eqnarray} f '(x) = \frac{2x}{5\sqrt{(x^2)+9}}-\frac{1}{6} \end{eqnarray}$ Deine weitere Rechnung musst du unnötig verkompliziert haben, befürchte ich.
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23.06.2012, 22:37	habnixahnung	Auf diesen Beitrag antworten »
nach erneutem rechnen habe ich $\begin{eqnarray} x=\frac{15}{13} \end{eqnarray}$ mit der Probe kommt es hin
23.06.2012, 22:40	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist schon besser, aber noch ein bisschen zu klein. Kann dein Nenner stimmen?
23.06.2012, 22:48	habnixahnung	Auf diesen Beitrag antworten »
ok jetzt $\begin{eqnarray} x=\sqrt{\frac{225}{119} } \end{eqnarray}$
23.06.2012, 22:48	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist die Lösung.

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