Untersuchung von Wachstumsprozessen

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23.06.2012, 21:26	FranziskaJnshn	Auf diesen Beitrag antworten »
Untersuchung von Wachstumsprozessen Meine Frage: Wir haben in der Schule folgende Hausaufgabe aufbekommen, damit wir uns für die nächste Stunde auf das neue Thema Wachstumsprozesse vorbereiten können. Jedoch habe ich keine Ahnung, wie genau eine Funktion aufstellen muss. 1) 800 Bakterien vermehren sich innerhalb von 4 Std auf 3 Mio. 2) 10.000? werden zu 4% angelegt, Zinsen werden nach einem Jahr [6 Monaten, 3 Monaten, 1 Monat] gutgeschrieben und mitverzinst. 3) 500mg eines Medikamentenwirkstoffes werden pro 4 Std um die jeweilige Hälfte reduziert. Meine Ideen: 1. Zuerst würde ich eine Funktionsgleichung aufstellen. Hier weiß ich jedoch bereits nicht, wie diese bei den einzelnen Aufgaben aussehen muss. 2. Danach würde ich eine Wertetabelle aufstellen. Dabei bräuchte ich denke ich, dann keine Hilfe mehr
23.06.2012, 21:28	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Funktionsgleichung für solche Funktionen sieht so aus: $\begin{eqnarray} K_n=K_0\cdot q^n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} K_n = \end{eqnarray}$ Endwert $\begin{eqnarray} K_0 = \end{eqnarray}$ Anfangswert $\begin{eqnarray} q= \end{eqnarray}$ Wachstumsfaktor $\begin{eqnarray} n= \end{eqnarray}$ Zeit Eine Wertetabelle ist eigentlich nicht notwendig, aber so könntest du es notieren. Kannst du jetzt vielleicht 1) lösen?
23.06.2012, 21:39	Franshizzleii	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f(x)=800x^4 \end{eqnarray*}$ dabei wüsste ich nun nicht, was ich bei x einsetzen sollte. Wie bestimme ich den Wachstumsfaktor? Vielen Dank schonmal
23.06.2012, 21:41	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein x musst du berechnen. Aber wir wissen doch auch noch $\begin{eqnarray} K_n \end{eqnarray}$ Wir können es also berechen. Probier mal.
23.06.2012, 21:55	Franshizzleii	Auf diesen Beitrag antworten »
ach, das habe ich ganz übersehen :> $\begin{eqnarray} 3.000.000=800x^4 \end{eqnarray*}$ x=7,82542 wäre ich mit aufgabe 1 soweit fertig?
23.06.2012, 22:00	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht gut aus. Ja mit 1) bist du fertig. Jetzt Nr. 2 Edit: Ist die Aufgabenstellung von 2) so komplett?
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23.06.2012, 22:34	Franshizzleii	Auf diesen Beitrag antworten »
gut ja, ist sie Aufgabe 2: bei einem Jahr $\begin{eqnarray} f(x)=10.0001,04^1 \end{eqnarray}$ x= 10,400€ ich bin mir nicht sicher, aber ich glaube, dass meine Lehrer gesagt hat, dass die 4% nur bei einem Jahr gelten, und bei 6 Monaten sich dadurch auch halbiert, also zu 2% werden.. und bei 6 Monaten $\begin{eqnarray} f(x)=10.0001,02^0.5 \end{eqnarray}$ x=10,099,5€ EDIT: bei 3 Monaten (hier hat sich ein Fehler eingeschlichen ) $\begin{eqnarray} f(x)=10.0001,01^0,25 \end{eqnarray}$ x=10,025€ bei 1 Monat f(x)=10.000?^0,12 hier wüsste ich jedoch dann nicht, was ich einsetzen sollte..
23.06.2012, 22:39	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok. Dann gehen wir von einem Verzinsungszeitraum von einem Jahr aus. Ja dein Lehrer hat recht. Wenn wir unser Kapital alle 6 Monate verzinsen, dann verzinsen wir es 2-mal zu 2%. Je kleiner diese Schritte werden, desto größer wird das Kapital (vielleicht sagt dir die berühmte Eulersche-Zahl etwas). Kannst du nun eine Rechnung konstruieren?
23.06.2012, 22:47	Franshizzleii	Auf diesen Beitrag antworten »
das verstehe ich nicht ganz. wenn ich 10,000€ ein Jahr lang bei 4% verzinse bekomme ich doch eigentlich mehr Geld, als wenn ich wenn ich das gleiche Geld bei 2% für 6 Monate verzinse, oder? Dann müsste der Endbetrag doch eigentlich kleiner ausfallen, je kürzer ich das Geld für einen kleineren Zinssatz auf der Bank liegen habe, oder hab ich das irgendwie falsch verstanden? die eulersche-zahl sagt mir leider nichts.. waren meine rechnungen denn komplett falsch? dankeschön für deine hilfe
23.06.2012, 22:53	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast das in sofern falsch verstanden, dass du das Kapital trotzdem nur einmal verzinst. Wenn wir jedoch alle 6 Monate Zinsen kassieren und unser Kapital 1 Jahr anlegen, so können wir insgesamt 2 mal Zinsen bekommen. Dabei verzinsen sich die Zinsen des ersten halben Jahres mit. Aufgrund des Zinseszins erhalten wir deshalb auch einen höheren Betrag. Das heißt: $\begin{eqnarray} f(x)=10000\cdot 1,02^2 = 10404 \end{eqnarray}$ Wenn wir nun alle 3 Monate Zinsen bekommen so müssen wir den Zinsfaktor vierteln und es hoch 4 nehmen. Verzinst sich das Kapital monatlich, so erhalten wir ja insgesamt 12 mal Zinsen. Wir zwölfteln den Zinsfaktor und nehmen das ganze hoch 12. So könnte man es in einer Formel ausdrücken: $\begin{eqnarray} q=\left(1+\frac{0,04}{n}\right)^n \end{eqnarray}$ Alles klar?
23.06.2012, 23:05	Franshizzleii	Auf diesen Beitrag antworten »
ah, okay. bei 3 Monaten wäre das dann $\begin{eqnarray} f(x)=10.0001,01^4 \end{eqnarray}$ ?? x=10,406 ist das so richtig? bei 1 Monat: $\begin{eqnarray} f(x)=10.0001,003^12 \end{eqnarray}$ x= 10,407
23.06.2012, 23:10	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja so ist das richtig. Jedoch solltest du auf 2 Nachkommastellen runden und vielleicht bei der letzen Rechnung ein paar mehr dreien der Periode mitnehmen um übermäßige Rundungsfehler zu vermeiden. Hier ist das noch nicht so schlimm, aber wenn die Verzinsungszeiträume länger werden spürt man da schon einen deutlichen Unterschied. Wenn du es ganz genau nehmen willst, dann benutzt du die oben genannte Formel um den Zinsfaktor zu berechnen. Damit wärst du auf der sicheren Seite, aber so trifft deine Rechnung bereits den Kern. Wenn du nun noch auf 2 Nachkommastellen rundest und mit etwas exakteren Werten rechnest ist es gut. Wäre aber so schon richtig.
23.06.2012, 23:19	Franshizzleii	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, gut puh, dann wäre das auch erledigt. zu aufgabe 3) 500mg wäre ja schonmal der Anfangswert und n=4. Doch wie bringe ich das jeweilige halbieren unter? $\begin{eqnarray} f(x)=(500/2)^4 \end{eqnarray}$ das wäre ja irgendwie auch falsch..
23.06.2012, 23:23	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja so ist das falsch. Wie lautet den der Wachstumsfaktor wenn sich etwas halbiert. Stichwort: Halbwertszeiten
23.06.2012, 23:29	Franshizzleii	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f(x)=5000,5^4 \end{eqnarray*}$ EDIT: x=31,25 so richtig?
23.06.2012, 23:32	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ups. Ich sehe gerade, dass ich mich verlesen habe. Sry. Wir wissen, dass sich der Wirkstoff des Medikamentes in vier Stunden halbiert und nicht stündlich, wie irrtümlich angenommen. Das heißt wir müssen unseren Wachstumsfaktor berechnen. Hast du eine Idee wie man das machen könnte?
24.06.2012, 00:40	Franshizzleii	Auf diesen Beitrag antworten »
mhm.. mir fällt nicht direkt was einleuchtendes ein.. aber vll. könnte man den halbierten Wert nach 4 Stunden, also 250 als Endwert nehmen, und dann so x herausfinden.. glaube zwar irgendwie nicht, dass das richtig ist, aber was besseres fällt mir nicht ein. $\begin{eqnarray} 250=500x^4 \end{eqnarray*}$ x=0,840896
24.06.2012, 00:42	Mathe-Maus	Auf diesen Beitrag antworten »
Darf ich Dir ein wenig helfen ... Nach 4 Stunden nur noch die Hälfte des Ausgangswertes könnte man ganz allgemein so schreiben: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}\cdot K_{0}= K_{0}\cdot q^{4} \end{eqnarray}$
24.06.2012, 00:56	Franshizzleii	Auf diesen Beitrag antworten »
aber da würde doch dann quasi das rauskommen was ich in meinem letzten beitrag geschrieben habe oder? danke dir auch noch )
24.06.2012, 00:59	Mathe-Maus	Auf diesen Beitrag antworten »
Jepp. Du hast intuitiv alles richtig gemacht ! Anahand meiner allgemeinen Formel hat sich Dein Ergebnis bestätigt. Großes Lob, Du kannst Mathe sehr gut LG Mathe-Maus PS: Merke Dir die allgemeine Formel gut, manchmal ist nämlich KEIN Anfangsbestand gegeben und man soll trotzdem den Wachstumsfaktor ausrechnen. ---------------- Da Du noch online bist, hier ein kleines Beispiel: Eine Bakterienart hat sich in 3 Jahren verdoppelt. Wie groß ist der Wachstumsfaktor ?
24.06.2012, 01:06	Franshizzleii	Auf diesen Beitrag antworten »
dankeschön ) & ich bedanke mich bei euch beiden recht herzlich für eure hilfe ♥ gute nacht

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