Aufgabe mit Gerade und Punkt

29.01.2007, 18:42

Anschi

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Aufgabe mit Gerade und Punkt

Hallo!
Vielleicht kann mir jemand bei der Aufgabe helfen. Das wäre super. Ich habe zwar schon einen kleinen Ansatz, aber dann weiß ich auch schon nicht mehr weiter... Schon mal Danke im voraus!

Also ich habe den Punkt A (6/-5/3) und die Gerade g: $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -2 \\ -5 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

a) Zeige, dass A nicht auf g liegt.
Die Aufgabe hab ich schon gelöst. A liegt nicht auf der Geraden.

b) Die Ebene E gehe durch A und sei othogonal zu g. Gib eine Normalenform und eine Parametergleichung von E an.
Da fängt mein Problem schon an... Ich weiß zwar wie eine Normalenform und eine Parametergleichung aussieht, aber ich hab ja nicht wirkliche viele Angaben für die Ebene. Muss ich dann als Stützvektor für die Ebene den Punkt A nehmen?

c) Bestimme den Punkt B auf g, der von A die kürzeste Entfernung hat.
Welcher Punkt B?? Vielleicht stelle ich mich ein wenig doof an, aber ich hab keine Ahnung, wie ich jetzt auch noch auf den Punkt B kommen soll...

Eigentlich sind es noch mehr Teilaufgaben, aber wenn ich die erstmal hab, ist mir auch schon sehr geholfen.
Ich hoffe mir kann einer helfen, denn ich steh voll auf dem Schlauch...
Und nochmal Danke im voraus!!

LG, Anschi

29.01.2007, 18:56

uwe-b

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Kann dir über ICQ helfen...

29.01.2007, 19:00

Vieta

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@uwe-b

eigentlich ist es nicht sinn des Boards, sich privat über icq oder msn zu helfen, sondern dies sollte doch hier im Board passieren, damit auch andere was von der Aufgabe haben Wink

Wink

29.01.2007, 19:01

MrPSI

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Willkommen

on Board, Anschi!

Bevor wir uns an c) wagen können, muss erstmal b) gemacht sein. Du weisst ja, dass die Gerade g senkrecht auf der Ebene E stehen muss, d.h. also der Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 \\ -5 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist ein Normalvektor der Ebene. Nun hast du also alles um die Normalenform der Ebene erstellen zu können, nämlich einen Punkt A, den - wie du schon angemerkt hast - als Stützvektor benutzen kannst und einen Normalvektor der Ebene.

@uwe-b:
Sowas wird hier erst gar nicht angefangen. Jede Hilfe soll ALLEN zugute kommen, also wird das Problem ÖFFENTLICH diskutiert.

29.01.2007, 19:20

Anschi

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Ok, dann hab ich jetzt als Normalenform für die Ebene
E: $\begin{eqnarray*} [ \vec{x} - \begin{pmatrix} 6 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix} ] \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -5 \\ 4 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

und die Parametergleichung
E: -2x - 5y + 4z = 25

Ist das soweit richtig??
Danke für die schnelle Hilfe!
LG, Anschi

29.01.2007, 19:31

MrPSI

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Zitat:

und die Parametergleichung
E: -2x - 5y + 4z = 25

Kann sein, dass wir andere Bezeichnungen gelernt haben, aber wo ist da der Parameter? Meiner Meinung nach ist E: -2x - 5y + 4z = 25 nur eine andere Darstellung der Normalform.

Unter der Bezeichung "Parameterform der Ebene" kenne ich eine Gleichung der Gestalt
$\begin{eqnarray*} \epsilon: \ X=P+t\cdot\vec{a}+s\cdot\vec{b} \end{eqnarray*}$
mit P als ein Punkt der Ebene und $\begin{eqnarray*} \vec{a},\vec{b} \end{eqnarray*}$ als Vektoren, die in der Ebene liegen (=Lagevektoren) und $\begin{eqnarray*} s,t \end{eqnarray*}$ als Parameter.

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29.01.2007, 19:41

Anschi

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Mein Fehler... Hab die Parametergleichung mit der Koordinatengleichung verwechselt.

Also müsste die Parametergleichung
E: $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \vec{a} + s \cdot \vec{b} \end{eqnarray*}$
sein.
Aber woher weiß ich die Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ ?

LG, Anschi

29.01.2007, 19:47

MrPSI

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Die Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ müssen lediglich in der Ebene liegen, ansonsten sind sie beliebig wählbar. Um nun diese Vektoren zu bestimmen, musst du nur 2 beliebige Punkte $\begin{eqnarray*} M \ \text{und} \ N \end{eqnarray*}$ der Ebene berechnen und hast dann mit Hilfe von A zwei Lagevektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a}=\vec{AM} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b}=\vec{AN} \end{eqnarray*}$ .

29.01.2007, 20:05

Anschi

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Kann ich die Punkte M und N beliebig wählen?
Z.B. für M (1/2/3) und N (3/2/1)

Dann hätte ich ja für
$\begin{eqnarray*} \vec{a} = \begin{pmatrix} 6 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -10 \\ 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und für
$\begin{eqnarray*} \vec{b} = \begin{pmatrix} 6 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18 \\ -10 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Daraus würde dann für die Parametergleichung folgen:
E: $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -10 \\ 9 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 18 \\ -10 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Ist das richtig?

LG, Anschi

29.01.2007, 20:09

MrPSI

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Ja, M und N sind beliebig wählbar. Aber wieso multiplizierst du A und M bzw. N? Das ist mMn falsch, denn es ist doch $\begin{eqnarray*} \vec{AX}=X-A \end{eqnarray*}$

29.01.2007, 20:21

Anschi

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Daran sieht man wie wenig Ahnung ich davon hab....

Mit den Punkten M und N von eben folgt dann
$\begin{eqnarray*} \vec{a} = \begin{pmatrix} -5 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \vec{b} = \begin{pmatrix} -3 \\ 7 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Parametergleichung ist dann:
E : $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -5 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 7 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Ich hoffe diesmal ist es richtig.

LG, Anschi

29.01.2007, 20:33

MrPSI

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Freude

das dürfte so passen. So nachdem du nun die Ebene hast, sollte Aufgabe c) keine grosse Hürde mehr sein. Der Lösungsansatz hierfür steckt in der Definition des Abstandes: der Abstand ist die kürzeste Entfernung zwischen Punkt und Gerade und wird im rechten Winkel Augenzwinkern

Augenzwinkern

(Vorsicht: Tipp!) zur Gerade gemossen. Geht dir nun ein Lichtlein auf? Wie könnte man nun mit der Tatsache der Orthogonalität und dem Vorhandenem (Ebene E, Gerade g, Punkt A) den Abstand bestimmen?

29.01.2007, 21:01

Anschi

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Kann man den Abstand vielleicht mit der Hesseschen Normalenform berechnen?
d = $\begin{eqnarray*} [ \vec{x} - \begin{pmatrix} 6 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix} ] \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -5 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{45}} \end{eqnarray*}$
und für $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ setzt man g ein
Kann man das so machen?

Oder reicht es, wenn man den Schnittpunkt der Geraden und der Ebene ausrechenet? Der Schnittpunkt könnte doch auch B sein, denn er liegt ja auf der Geraden. Oder täusch ich mich da?

LG, Anschi

29.01.2007, 21:13

riwe

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Zitat:

Original von Anschi
Kann man den Abstand vielleicht mit der Hesseschen Normalenform berechnen?
d = $\begin{eqnarray*} [ \vec{x} - \begin{pmatrix} 6 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix} ] \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -5 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{45}} \end{eqnarray*}$
und für $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ setzt man g ein
Kann man das so machen?

Oder reicht es, wenn man den Schnittpunkt der Geraden und der Ebene ausrechenet? Der Schnittpunkt könnte doch auch B sein, denn er liegt ja auf der Geraden. Oder täusch ich mich da?

LG, Anschi

ja das kannst du so machen, dann bekommst du den entsprechenden parameter t usw.
werner

29.01.2007, 21:31

MrPSI

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Zitat:

Original von Anschi
Oder reicht es, wenn man den Schnittpunkt der Geraden und der Ebene ausrechenet? Der Schnittpunkt könnte doch auch B sein, denn er liegt ja auf der Geraden. Oder täusch ich mich da?

Yep, laut Aufgabenstellung reicht es aus B als Schnittpunkt von g und E zu berechnen. Denn dann steht $\begin{eqnarray*} \overline{AB} \end{eqnarray*}$ senkrecht auf g und ist damit der kürzeste Abstand.

29.01.2007, 21:39

Anschi

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So, ich habe jetzt g und E gleichgesetzt und habe meine Parameter ausgerechnet.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -5 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -5 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 7 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ergebnisse sind aber ziemlich krum...
s = $\begin{eqnarray*} \frac{45}{67} \end{eqnarray*}$

t = $\begin{eqnarray*} \frac{90}{67} \end{eqnarray*}$

r = $\begin{eqnarray*} \frac{-36}{67} \end{eqnarray*}$

Wenn ich die Parameter jetzt einsetze, bekomme ich doch meinen Schnittpunkt oder?

LG, Anschi

29.01.2007, 22:02

MrPSI

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Anschi, wie bist du auf diese Parameterwerte gekommen? Ich habe deine Werte überprüft, sie erfüllen die ersten beiden "Zeilen" des Gleichungssystems, aber in der z-Zeile ergibt sich eine falsche Aussage. Poste doch mal den Rechenweg.

P.S. Zur Kontrolle: Meine errechneten und überprüften Werte lauten:

$\begin{eqnarray*} s=\frac{45}{11} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t=\frac{-90}{11} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r=\frac{72}{11} \end{eqnarray*}$

//EDIT: und ja, wenn die (richtigen) Parameterwerte in die Ebenen- oder Geradengleichung eingesetzt werden, dann ergibt sich der Schnittpunkt.

29.01.2007, 22:18

Anschi

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Also ich hab g und E gleichgesetzt und dann hab ich ja drei Gleichungen

1. 6 - 2s = 6 - 5 r - 3t
2. 4 - 5s = -5 +7r + 7t
3. 3 + 4s = 3 - 2t
------------------------
1. -2s + 5r + 3t = 0
2. -5s - 7r - 7t = -9
3. 4s + 2t = 0 --> t = 2s
-------------------------
t in 1. einsetzen:
-2s + 5r + 6s = 0
4s + 5r = 0
5r = -4s
r = $\begin{eqnarray*} \frac{-4}{5} \end{eqnarray*}$ s

r und t in 2. einsetzen:
-5s + $\begin{eqnarray*} \frac{28}{5} \end{eqnarray*}$ s - 14s = -9
-13,4s = -9
s = $\begin{eqnarray*} \frac{45}{67} \end{eqnarray*}$

und daraus ergeben sich halt t = $\begin{eqnarray*} \frac{90}{67} \end{eqnarray*}$ und r = $\begin{eqnarray*} \frac{-36}{67} \end{eqnarray*}$

Danke für deine Hilfe! Ohne dich wäre ich echt aufgeschmissen!
LG, Anschi

29.01.2007, 22:22

MrPSI

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Zitat:

1. -2s + 5r + 3t = 0
2. -5s - 7r - 7t = -9
3. 4s + 2t = 0 --> t = 2s
-------------------------

Die rotmarkierte Folgerung ist falsch. Die richtige Gleichung lautet t= -2s.

29.01.2007, 22:33

Anschi

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So ein blöder Fehler! Ich hab jetzt das gleiche raus.
Für den Schnittpunkt hab ich S ( -2,18 / 44,91 / 29,18) raus. Dafür hab ich s in g eingesetzt.

Jetzt muss ich doch nur noch S - A ausrechnen um den Abstand zu berechnen, oder?

Da hab ich dann für d = 67,18 ausgerechnet.

LG, Anschi

29.01.2007, 22:40

MrPSI

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Das x = -2,18 von S kann ich auch noch nachvollziehen, aber wie kommst du auf die beiden anderen Werte?

$\begin{eqnarray*} x = 6+s\cdot(-2)=6-2\cdot\frac{45}{11}= -2,18 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = 4+s\cdot(-5)=4-5\cdot\frac{45}{11}= -16,45 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z = 3+s\cdot 4=3+4\cdot\frac{45}{11}= 19,36 \end{eqnarray*}$

Hast du auch so gerechnet?

29.01.2007, 22:50

Anschi

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Eigentlich hatte ich das so gerechnet, aber wahrscheinlich kann ich nicht einmal mit dem Taschenrechner umgehen....
Zu mindest hab ich jetzt die Ergebnis für x, y und z genauso wie du.
Dann hab ich für d = -3,27 raus.

Das hab ich wie folgt gerechnet:

d = S - A = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2,18 \\ -16,45 \\ 19,36 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8,18 \\ -11,45 \\ 16,36 \end{pmatrix} = - 3,27 \end{eqnarray*}$

LG, Anschi

29.01.2007, 22:59

MrPSI

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Du verwirrst mich ein wenig verwirrt

verwirrt

. Du kennst die Hessesche Normalform, aber lässt grundlegende Kenntnisse der Vektorrechnung missen.

Der Betrag eines Vektors $\begin{eqnarray*} \vec{SA} \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} \vert \vec{SA} \vert = \vert S - A \vert = \left| \begin{pmatrix} -2,18-6 \\ -16,45-(-5) \\ 19,36-3 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{(-2,18 - 6)^2+(-16,45-(-5))^2+(19,36-3)^2} \approx 21,5 \end{eqnarray*}$

Und es gilt $\begin{eqnarray*} d=\vert \vec{SA} \vert \end{eqnarray*}$

//EDIT: Rechenfehler korrigert.

29.01.2007, 23:10

Anschi

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Ok, dass man mit dem Betrag vom Vektor rechnen muss, wusste ich nicht... Ich sagte ja, dass ich davon keine Ahnung habe.

Also das Ergebnis hab ich auch. Das erste war falsch, hast du aber auch selber gemerkt. Hatte schon wieder an mir gezweifelt....

Ich danke dir so sehr! Ich könnte dich knutschen, weil du deine ganze Zeit damit verbracht hast, meine Aufgabe zu rechnen und jemandem wie mir geholfen hast, die Aufgabe sogar einigermaßen zu verstehen.

Eigentlich gehören dazu noch 3 Teilaufgaben, aber dafür ist es heute zu spät.

Nochmals tausend Dank für deine Hilfe!!
Liebe Grüße, Anschi

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