Kubisches Polynom irreduzibel über Q |
| 24.06.2012, 11:50 | Benz | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Kubisches Polynom irreduzibel über Q warum sind über Q alle kubischen Polynome irreduzibel? Irreduzibel ist ein Polynom ja genau dann, wenn man es in Linearfaktoren zerlegen kann. Aber über Q ? Was ist da anders als über R? Gut, ich denke die NST sollen aus Q sein. Aber was ist dann mit dem Polynom f(x)=x^3? Das kann man doch zerlegen in x*x*x. Also eine dreifache NST bei 0. Oder geht das so nicht? Ich bin etwas verwirrt... 
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| 24.06.2012, 12:03 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ein Polynom ist irreduzibel, wenn man es nicht in Faktoren zerlegen kann. x(x-1)²=x³-2x²+x ist reduzibel. Also sind über Q und über R nicht alle kubischen Polynome irreduzibel. Vermutlich geht es darum, dass über R jedes kubische Polynom eine Nullstelle hat also reduzibel ist. Das ist über Q nicht so, relle Polynome müssen keine rationale Nullstelle haben. Das Beispiel x³+x+1=0 zeigt, dass auch rationale kubische Polynome keine rationale Nullstelle haben müssen, also irreduzibel sein können. |
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| 24.06.2012, 13:05 | Benz | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ahhh okay, danke! Ein Kommilitone von mir meinte nur dass über Q alle kubischen Polynome irreduzibel sind, das stimmt aber doch dann nicht, oder? Wenn das Polynom eine rationale Nullstelle hat (wie das erste Beispiel f(x)=x^3) ist es doch dann über Q auch reduzibel oder sehe ich das falsch? |
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| 24.06.2012, 13:09 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du hast recht, dein Kommilitone hat nicht recht. Über Q gibt es reduzible und irreduzible kubische Polynome. Über R ist jedes Polynom ungeraden Grades reduzibel. (Genauer: Über R zerfällt jedes Polynom in lineare und quadratische Faktoren. Bei den quadratischen Faktoren sind konjugiert komplexe Nullstellen.) |
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| 24.06.2012, 13:19 | Benz | Auf diesen Beitrag antworten » |
Alles klar, danke sehr! |
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