Körper mit zwei Elementen Anzahl an nicht ähnlichen 2x2 Matrizen

24.06.2012, 13:56

Banel

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Körper mit zwei Elementen Anzahl an nicht ähnlichen 2x2 Matrizen

Meine Frage:
Hallo,

ich habe folgende Aufgabe bei der ich irgendwie nicht weiter komm:
Es sei $\begin{eqnarray*} K =\mathbb Z/ 2\mathbb Z \end{eqnarray*}$ der Körper mit zwei Elementen, $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_{1} ,...,A_{k} \in Mat(2x2,K ) \end{eqnarray*}$ atrizen, die paarweise nicht ähnlich zueinander sind. Wie groß ist k höchstens.

Meine Ideen:
Das heißt also ich soll die Anzahl an Matrizen finden für die $\begin{eqnarray*} A_{1} ,...,A_{k} \end{eqnarray*}$ nicht ähnlich sind. Und da ich mich im Körper mit nur 2 Elementen befinde, habe ich nur 1 und 0 als Matrixeinträge.

Zwei Matrizen A und B sind ähnlich wenn es eine Matrix T gibt mit B=T^-1 AT

Aber jetzt weiß ich irgendwie nicht mehr weiter.

Vielleicht kann mir von Euch jemand helfen!
Danke und Grüße

24.06.2012, 14:04

Elvis

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$\begin{eqnarray*} k \le 2^4 \end{eqnarray*}$ , weil es nur 16 verschiedene 2x2 Matrizen über F_2 gibt.
Jetzt kann man rechnen (ein endliches Problem, aber etwas mühsam) oder nachlesen, was man noch über ähnliche Matrizen weiß.

24.06.2012, 15:10

Banel

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Danke für die Hilfe.
Also die 16 Matrizen hab ich jetzt auch gefunden.

Ich weiß noch über Ähnlichkeit, dass zwei Matrizen ählich sind, wenn sie dieselbe Jordannnormalform haben
und zwei Matrizen sind genau dann ähnlich wenn sie dieselben Eigenwerte, dieselben algebraischen Vielfachheiten und dieselben geometrischen Vielfachheiten haben.
Mit diesem Wissen versuch ich jetzt mal zu rechnen!
Oder gibt es noch eine schnellere Methode?

24.06.2012, 16:44

Banel

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So ich hab jetzt mal gerechnet:
ich hab mir zunächst den Rang angeschaut, der muss ja bei ähnlichen Matrizen auch gleich sein und dann hab ich weiter aufgesplittet mithilfe des charakteristischen Polynoms und den geometrischen Vielfachheiten.

Letztendlich hab ich 4 Matrizen die nicht ähnlich zu einer anderen Matrix sind:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann ist mein k aus der Aufgabe also gleich 4
stimmt das so?
und gibt es noch einen geschickteren Lösungsweg?

24.06.2012, 18:43

Mystic

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Hm, ich seh im Moment nicht, zu welcher von deinen 4 Matrizen z.B.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ähnlich ist? verwirrt

verwirrt

25.06.2012, 07:58

Banel

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Hallo Mystic,

das sollen ja auch die Matrizen sein, die nicht ähnlich sind.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist ähnlich zu $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
oder?

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25.06.2012, 08:18

Mystic

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So wie ich die Aufgabe verstehe, solltest du ein Repräsentantensystem für die Äquivalenzrelation der Ähnlichkeit von Matrizen in deinem Matrizenring finden... Mein Beispiel zeigt, dass es noch nicht komplett war und m.E. selbst bei Hinzunahmen dieser Matrix zu deinen 4 Matrizen noch immer nicht komplett ist...

Worum geht es bei dieser Aufgabe eigentlich? Du hast die 6-elementige Gruppe S der nichtsingulären Matrizen, welche auf der Menge R aller 16 Matrizen per Konjugation "operiert"... Deine Aufgabe ist es, ein Vetretersystem für die Partition der Orbits zu finden... Ich würde das zunächst mal mit brute force (ev. mithilfe eines CAS) machen, das ist ja hier noch relativ einfach, und mir dann erst am Ende überlegen, ob man das Ergebnis noch irgendwie anders sehen kann...

25.06.2012, 08:23

tmo

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Da nur nach der Anzahl gefragt ist, könnte man auch alle Polynome vom Grad 1 und 2 zählen. Schließlich sind in diesem leichten Fall 2 Matrizen noch genau dann ähnlich, wenn ihre Minimalpolynome gleich sind.

25.06.2012, 08:37

Banel

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ah jetzt habe ich glaub verstanden was du mit deinem Bespiel gemeint hast,

dann wären es 8 Matrizen, die nicht ähnlich zueinander sind.

und mit der Methode von tmo komme ich auch auf 8.
Stimmt dass dann jetzt?

25.06.2012, 09:09

tmo

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Wie kommst du denn auf 8? verwirrt

verwirrt

25.06.2012, 09:27

Banel

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ich habe die Minimalpolynome ausgerechnet von den 16 möglichen Matrizen und erhalte 8 verschiedene Minimalpolynome

25.06.2012, 09:44

tmo

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Es gibt aber gar keine 8 verschiedene Polynome vom Grad 1 oder 2 über $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2 \end{eqnarray*}$

25.06.2012, 10:03

Banel

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So ganz versteh ich das noch nicht aber ich versuch es mal:
ich hab. z.B. als Minimalpolynome einmal x und einmal x-1
und dann hab ich noch ein minimalpolynom x(x-1)
ist das jetzt das selbe, weil es sich aus den anderen 2 zusammen setzen lässt?

Muss jetzt leider los aber ich versuchs heut abend noch einmal.

25.06.2012, 11:29

Mystic

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@Banel

Ja, der Zugang über Minimalpolynome ist hier natürlich der einfachste, da geben ich tmo jedenfalls recht, insbesondere da anscheinend nur eine "natürliche" obere Schranke für die Anzahl der paarweise nicht ähnlichen Matrizen gefragt war und nicht einmal die exakte Anzahl... Dass du mit der einfachen Aufgabe, alle linearen und quadratischen Polynome mit Koeffizienten in {0,1} aufzustellen, offenbar ein ernstes Polynom hast, damit konnte ja niemand rechnen... unglücklich

unglücklich

25.06.2012, 15:47

Banel

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Also alle linearen und quadratischen Polynome mit Koeffizienten in {0,1} sind bei mir:
$\begin{eqnarray*} x^{2}; x; x+1; x^{2}+x; x^{2}+1; x^{2}+x+1; \end{eqnarray*}$

Aber das sind doch nicht meine Minimalpolynome, oder?

oder muss ich diese mit meinen aus den Matrizen berechneten Minimal-Polynomen vergleichen?

25.06.2012, 16:41

Mystic

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Zitat:

Original von Banel
Also alle linearen und quadratischen Polynome mit Koeffizienten in {0,1} sind bei mir:
$\begin{eqnarray*} x^{2}; x; x+1; x^{2}+x; x^{2}+1; x^{2}+x+1; \end{eqnarray*}$

Na, geht also doch noch... Freude

Freude

Zitat:

Original von Banel
Aber das sind doch nicht meine Minimalpolynome, oder?

Du wirst lachen, aber das sind sie... Big Laugh

Big Laugh

Zitat:

Original von Banel
oder muss ich diese mit meinen aus den Matrizen berechneten Minimal-Polynomen vergleichen?

Du solltest einfach für jeden der - hoffentlich zwischenzeitlich gefundenen - sechs Klassenvertreter der Ähnlichkeitsrelation das eindeutig bestimmte Polynom kleinstes Grades bestimmen, welches ihn (und daher auch alle anderen Elemente der gleichen Äquivalenzklasse) als Nullstelle besitzt... Das definiert dann hier insgesamt eine Bijektion zwischen den Minimalpolynomen und den Äquivalenzklassen... Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.06.2012, 17:22

Banel

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danke mystic, da stand ich wohl ziemlich lange auf dem Schlauch Hammer

Hammer

Also ist mein k=6.

Das einzige was ich nicht ganz verstehe was war jetzt vorher an meinem Lösungsansatz falsch, dass ich die 16 verschiedenen Matrizen aufgestellt habe und versucht habe durch EW und alegebraische und geometrische Vielfachheit zu schauen wieviele von ihnen nicht ähnlich sind?

25.06.2012, 18:09

Mystic

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Zitat:

Original von Banel
Das einzige was ich nicht ganz verstehe was war jetzt vorher an meinem Lösungsansatz falsch, dass ich die 16 verschiedenen Matrizen aufgestellt habe und versucht habe durch EW und alegebraische und geometrische Vielfachheit zu schauen wieviele von ihnen nicht ähnlich sind?

Ich sehe nicht, dass du das wo versucht hättest, zumindstens hast du uns deine Rechnungen dazu nicht mitgeteilt... verwirrt

verwirrt

Ich glaube aber ohnehin, dass dies nur ein anderer Blickwinkel von einer und derselben Sache ist, der die Dinge auf keinen Fall einfacher macht...Immerhin bestimmen ja die Eigenwerte zusammen mit ihrer Vielfachheiten das charakteristische Polynom und umgekehrt... Ferner ist das Minimalpolynom stets Teiler des charakteristischen Polynoms und sehr oft mit diesem ident...

25.06.2012, 22:30

Banel

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Zitat:

Original von Banel
So ich hab jetzt mal gerechnet:
ich hab mir zunächst den Rang angeschaut, der muss ja bei ähnlichen Matrizen auch gleich sein und dann hab ich weiter aufgesplittet mithilfe des charakteristischen Polynoms und den geometrischen Vielfachheiten.

Aber wenn das nur ein anderer Blickwinkel ist, passt ja beides, nur dass das eine aufwendiger ist.

Danke für eure Hilfe.

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