Alternatives Ausrücken Linearer Funkionen? Mysterium!

24.06.2012, 12:14

thechus

Alternatives Ausrücken Linearer Funkionen? Mysterium!

Liebes Forum,

momentan hänge ich an einer Aufgabe, die mich ein wenig nervt.
Es ist nun so, dass diese Art der Lösung der Aufgaben dieser Art ständig in meinen Lösungen vorkommt. Ich löse sie meist auf einem anderen Weg, aber bei dieser Aufgabe scheint dies nicht mehr möglich.

Aufgabe lautet:

Im Punkt P (x0 | f(x0)) des Graphen f mit f(x) = x^1/2 ist die Normale gezeichnet. Sie schneidet die x-Achse im Punkt H. Das Lot von P0 auf di x-Achse schneidet diese in K.

Zeigen Sie, dass die Strecke KH stets die Länge 0,5 hat.

Skizze (zudem ist das Lot vom Schnittpunkt zur x-Achse zu denken):

In der Lösung wird zur Lösung der Aufgabe folgende Gleichung aufgestellt:

$\begin{eqnarray*} y = -2\sqrt{x_{0}} (x - x_{0}) + \sqrt{x_{0}} \end{eqnarray*}$

Ich gehe hier mal von der Normalform einer Geraden:

$\begin{eqnarray*} g(x) = mx + b \end{eqnarray*}$

aus. Die Steigung m ist klar. Nur weiß ich um keinen Preis wie man hier auf x bzw. b kommt. Wie drückt man den bitteschön den y-Achsenabschnitt mit Wurzel x0 aus?
Dies ist ja lediglich der Berührpunkt mit der Funktion f(x)....

Also nochmal meine Frage:
Wie kann man x und b derartig ausdrücken? Gibt es dafür eine Regel?

Ich hoffe, dass ihr mir weiterhelfen könnt.

Mit freundlichen Grüßen,
thechus

24.06.2012, 13:32

Cheftheoretiker

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RE: Alternatives Ausrücken Linearer Funkionen? Mysterium!
Mal ganz langsam, salopp formuliert willst du zeigen das von dem Schnittpunkt der beiden Funktionen bis zur x-Achse stets die Länge 0,5 beträgt? oder wie darf ich das verstehen. Deine Aufgabe ist irgendwie durcheinander gewuselt...

24.06.2012, 13:43

thechus

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Hey,

nein, so ist das nicht gemeint.

Ich werde das mal an der Skizze erläutern:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x) = -x + 0,75 \end{eqnarray*}$

(g(x) entspricht der Normalen an der Funktion f(x) an einer beliebigen Stelle x0, ich habe hier zum Skizzieren x0 = 0,25 gewählt).

Desweiteren wird gesagt, dass man vom Punkt x0, der ja der Schnittpunkt von g(x) und f(x) ist, eine Senkrechte Linie zieht. Es liegt nahe, dass diese die x-Achse an der Stelle x0 schneidet.

Und jetzt wird gesagt: Der Abstand zwischen diesem Schnittpunkt des Lotes (x0) und dem Schnittpunkt der Geraden g(x) mit der x-Achse hat stets den Abstand 0,5.

Ich hoffe, das war verständlicher.

Gruß,
thechus

24.06.2012, 16:59

Bjoern1982

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Zitat:

Ich hoffe, das war verständlicher.

Ich fands schon am Anfang in deinem ersten Beitrag recht deutlich, aber nun gut. Augenzwinkern

Zitat:

In der Lösung wird zur Lösung der Aufgabe folgende Gleichung aufgestellt:

$\begin{eqnarray*} y = -2\sqrt{x_{0}} (x - x_{0}) + \sqrt{x_{0}} \end{eqnarray*}$

Das ist die so genannte Punkt-Steigungsform einer Normalen an den Graphen von f in x=x0.
Damit hat man dann nicht die Arbeit nochmal extra den y-Achsenabschnitt b auszurechnen.

Macht man es über den Ansatz y=mx+b <=> b=y-mx dann muss man eigentlich nur die dir ja bekannte Normalensteigung m und den Punkt (x0|f(x0)) für x und y einsetzen.

24.06.2012, 17:23

thechus

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Ah! Geniale Sache Big Laugh

Danke schön!

Eine Frage habe ich aber doch noch verwirrt

Und zwar folgendes:

Wir haben hier die Gerade

$\begin{eqnarray*} g(x_{1}) = mx_{1} + b \end{eqnarray*}$

und b definiert mit:

$\begin{eqnarray*} b = - mx_{2} + y \end{eqnarray*}$

Einsetzen ergibt:

$\begin{eqnarray*} g(x) = mx_{1} - mx_{2} + y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x) = -m (x_{2} - x_{1}) + y \end{eqnarray*}$

1. Es ist wohl richtig, dass ich den x - Werten unterschiedliche Parameter zugeordnet habe, oder?

2. Woher weiß ich denn, welcher der x-Werte x0 und welcher x ist?

Danke nochmal für deine hilfreiche Antwort! Ich hab noch nie was von dieser Form gehört, obwohl man auch selbst drauf hätte kommen können, wenn man nicht das Minuszeichen vor der Steigung ignoriert hätte......... Hammer

(Das sollte jetzt nicht deine Hilfestellung runtermachen!)

Mit freundlichen Grüßen,

thechus

24.06.2012, 18:12

Bjoern1982

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Prinzipiell kann man alles so benennen wie man will.
Wenn du jedoch einmal g durch g(x1) in Abhängigkeit von x1 ausdrückst, dann würde ich auch dabei bleiben und nicht später wieder auf g(x) wechseln (was im Übrigen sogar falsch ist, da gar kein x mehr vorkommt bei dir).
Auch ist es allein schon aus Gründen der besseren Transparenz üblich, die Koordinaten des Punktes, der auf der Geraden liegen soll, auch mit den denselben Indizes zu bezeichnen - also nicht x2 und y sondern x1 und y1 oder x0 und y0 oder x2 und y2 oder...

24.06.2012, 18:25

thechus

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Hey,

hab's verstanden!
Vielen Dank smile

Gruß,

thechus

24.06.2012, 18:31

Bjoern1982

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24.06.2012, 18:35

Mystic

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Vielleicht sollte man der Vollständigkeit halber noch erwähnen, dass es hier um die Bestimmung der sog. Subnormalen geht, deren Länge in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ allgemein durch $\begin{eqnarray*} |f(x_0)f'(x_0)| \end{eqnarray*}$ gegeben ist...

24.06.2012, 18:41

thechus

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Dieser Kommentar war sehr hilfreich danke! Big Laugh

Sowas ist echt immer gerne willkommen Freude

Ich kann nur wie immer ein Lob aussprechen Augenzwinkern

Gruß,
thechus

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