Umkehrfunktion implizit berechnen

24.06.2012, 16:56

King_Jigga

Umkehrfunktion implizit berechnen

$\begin{eqnarray*} f(x) = -e^{x} + \frac{1}{2}*e^{-2x} + \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

in der Aufgabe steht: f(x) besitzt eine Umkehrfunktion, die nicht explizit angegeben werden kann. Geben sie diese Umkehrfunktion im impliziter form an.

x und y hab ich vertauscht um dann nach y aufzulösen:

$\begin{eqnarray*} x-\frac{3}{2} = e^{y} + \frac{1}{2}* e^{-2y} \end{eqnarray*}$
dann den ln angewandt und dann bekomm ich nach umformen:

$\begin{eqnarray*} y= - \frac{ln(x-\frac{3}{2}) }{2} \end{eqnarray*}$

die implizite form wäre ja dann:

$\begin{eqnarray*} 0= -2x+ ln(x-\frac{3}{2}) \end{eqnarray*}$

ich glaube da stimmt aber einiges nicht
könnt mir jm bitte helfen??

24.06.2012, 17:19

mYthos

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Du hast den Logarithmus falsch angewandt. Bei Summen oder Differenzen funktioniert das ohnehin nicht, denn diese lassen sich nicht logarithmieren!

Tipp: Multipliziere mit $\begin{eqnarray*} e^{2y} \end{eqnarray*}$

mY+

24.06.2012, 17:54

King_Jigga

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hall ich habe zwar nicht verstanden wo genau ich es anwenden soll aber habs mal so versucht.

$\begin{eqnarray*} x-\frac{3}{2} = -e^{y} + \frac{1}{2} e^{-2y} \end{eqnarray*}$

dann denn $\begin{eqnarray*} e^{2y} \end{eqnarray*}$ angewandt

$\begin{eqnarray*} e^{2y} (x-\frac{3}{2}) = -e^{3y} + \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

stimmts soweit???

25.06.2012, 00:28

mYthos

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So weit.
Noch mit 2 multiplizieren und etwas umstellen:

$\begin{eqnarray*} e^{2y}(2x - 3)+2e^{3y}-1=0 \end{eqnarray*}$

mY+

25.06.2012, 15:10

King_Jigga

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das ist doch keine Umkehrfunktion.
ja wie etwas umstellen, ich weiss einfach nicht mehr weiter..
ich muss doch nach y auflösen oder wie jetzt

25.06.2012, 15:39

HAL 9000

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Zitat:

Original von King_Jigga
das ist doch keine Umkehrfunktion.

Noch nicht, aber es ist eine Kubische Gleichung für die Unbekannte $\begin{eqnarray*} z=e^y \end{eqnarray*}$ . Deren Lösungsdarstellung ist zwar nicht schön, aber immerhin möglich. Augenzwinkern

EDIT: Günstiger erscheint allerdings die alternative Substitution $\begin{eqnarray*} z=e^{-y} \end{eqnarray*}$ , denn dann liegt die kubische Gleichung gleich in der Normalform $\begin{eqnarray*} z^3+pz+q=0 \end{eqnarray*}$ (d.h. ohne quadratisches Glied) vor.

29.06.2012, 02:01

mYthos

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Zitat:

Original von King_Jigga
das ist doch keine Umkehrfunktion.
...

Was denn dann? Schau doch nochmals auf den Titel! Dort steht: Umkehrfunktion implizit berechen. Und das ist so schon allemal geschehen.

mY+

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Umkehrfunktion implizit berechnen

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