Logarithmieren, Ungleichung

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24.06.2012, 22:12	annemmi	Auf diesen Beitrag antworten »
Logarithmieren, Ungleichung Meine Frage: Bestimmen sie alle $\begin{eqnarray} a>0 \end{eqnarray}$ , sodass jür jedes $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} x^{a}\leq a^{x} \end{eqnarray}$ . Hinweis: Logarithmieren Sie beide Seiten (wieso erhält das die Ungleichung?) und arbeiten Sie dann damit. Meine Ideen: Wenn ich "logarithmieren" richtig verstanden habe, bringt es mich nicht sonderlich weiter: $\begin{eqnarray} a^{x}=x^{a}\Leftrightarrow a=log_{x} a^{x} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow x=log_{a}x^{a} \end{eqnarray}$ Das gilt nur bei Gleichheit und selbst wenn nicht, bringt es mich trotzdem nicht weiter weil ich das ja in die ursprüngliche (Un)gleichung nicht einsetzen kann.... Oder ich stehe auf dem Schlauch. bin für jegliche Hilfe dankbar.
25.06.2012, 00:55	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das beidseitige Logarithmieren mit der gleichen Basis (vorzugsweise mit der Basis e --> ln) ist eine Äquivalenzumformung, weil die Logarithmusfunktion streng monoton steigend ist. $\begin{eqnarray} \ln a^x = x \ln a \end{eqnarray}$ Die Ungleichung kann algebraisch weder nach a, noch nach x gelöst werden. Man kann lediglich die Bedingung angeben, welche für den Fall für a und x gelten muss: $\begin{eqnarray} a \ln x - x \ln a \leq 0 \end{eqnarray}$ mY+
25.06.2012, 07:01	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Und genau mit dieser Bedingung kann man die Aufgabe lösen, indem man sie als Bedingung für die Funktion $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{\ln x}{x} \end{eqnarray}$ interpretiert. Und damit kann man auch den Wert von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ exakt berechnen (Kurvendiskussion).
25.06.2012, 09:50	annemmi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, vielen Dank schon mal, hat mir sehr weitergeholfen. Ich logarithmiere also, sodass $\begin{eqnarray} aln(x)\leq xln(a) \Leftrightarrow \frac{ln(x)}{x} \leq \frac{ln(a)}{a} \end{eqnarray}$ und setze $\begin{eqnarray} f(x):=\frac{ln(x)}{x} \end{eqnarray}$ Und um a zu berechnen muss ich die Funktion dann erst mal ableiten, ja? Also: $\begin{eqnarray} f'(x)=\frac{1-ln(x)}{x^{2}} \end{eqnarray}$ und dann die Nullstelle berechnen und die Nullstelle ist dann <= mein a?
25.06.2012, 09:55	annemmi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, der letzte Satz war jetzt Blödsinn merk ich grad... Aber durch welchen Schritt der Kurvendiskussion komme ich auf das a? Mich wirft der Logarithmus völlig aus der Bahn....
25.06.2012, 10:02	shipwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, du hast schon richtig gelegen. Die Maximalstelle von $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{\ln(x)}{x} \end{eqnarray}$ ist das gesuchte $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ . Viele Grüße, Shipwater
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25.06.2012, 10:16	annemmi	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut. Also ich setze die Ableitung =0 und dann kommt für x der Wert 1 raus (weil ja ln(1)=0!=1 und somit der Zähler 0 wird). Und wenn ich die 1 dann in f(x) einsetze habe ich letztendlich da stehen: $\begin{eqnarray} \frac{ln(1)}{(1)} = 1 \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} 1\leq \frac{ln(a)}{a} \Leftrightarrow a\leq ln(a) \end{eqnarray}$
25.06.2012, 10:16	annemmi	Auf diesen Beitrag antworten »
Und nebenbei noch eine Frage: Wieso erhält das logarithmieren die Ungleichung??
25.06.2012, 10:26	shipwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, du musst dich verrechnet haben, denn $\begin{eqnarray} x=1 \end{eqnarray}$ ist keine Nullstelle von $\begin{eqnarray} f'(x)=\frac{1-\ln(x)}{x^2} \end{eqnarray}$ . Es gilt auch einfach $\begin{eqnarray} \ln(1)=0 \end{eqnarray}$ . Wie du auf $\begin{eqnarray} \ln(1)=0!=1 \end{eqnarray}$ kommst, ist mir leider ein Rätsel. $\begin{eqnarray} \frac{1-\ln(x)}{x^2}=0 \end{eqnarray}$ führt dich doch zu $\begin{eqnarray} \ln(x)=1 \end{eqnarray}$ . An dieser Stelle kannst du die e-Funktion anwenden. Eine Antwort zu deiner letzten Frage hat mYthos dir schon in seinem ersten Beitrag gegeben. Viele Grüße, Shipwater
25.06.2012, 10:53	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Manchmal kann man auch über einfache Dinge staunen. Da exponentielles Wachstum polynomiales schlägt, denkt man, ab irgendeinem $\begin{eqnarray} a>0 \end{eqnarray}$ wird schon $\begin{eqnarray} x^a < a^x \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x \geq 0 \end{eqnarray}$ gelten. Schließlich startet ja $\begin{eqnarray} a^x \end{eqnarray}$ bereits weiter oben. Aber Pustekuchen! Außer für $\begin{eqnarray} a = \operatorname{e} \end{eqnarray}$ gibt es immer ein gewisses Intervall, in dem $\begin{eqnarray} x^a > a^x \end{eqnarray}$ ist.
29.06.2012, 21:21	annemmi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ich weiß auch nicht, wie ich da auf 0! kam.... Aber trotzdem vielen Dank an alle. Hat mir sehr geholfen!

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