Zins, Zinseszins, Barwert

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24.06.2012, 22:20	Nini2012	Auf diesen Beitrag antworten »
Zins, Zinseszins, Barwert Meine Frage: Ich sitze mal wieder an einer Aufgabe, bei der ich den Lösungsweg nicht finde bzw. mir überhaupt nicht sicher bin... a) Herr X legt einmalig 1500? an. Er erhält pro Jahr 2,5 % Zinsen, die vierteljährlich gezahlt werden. Bestimmen Sie nach wie vielen Jahren Herr X ein Vermögen von 1657,24 hat. b) Frau X zahlt am Anfang eines Jahres jeweils eine konstante Rate R auf einen Sparvertrag ein. Sie erhält pro Jahr 2,5 % Zinsen. Berechnen Sie, wie hoch diese Rate sein muss, damit ihr Vermögen am Ende des dritten Jahres 1891,50 ? beträgt. Bestimmen Sie den Barwert dieses Vermögens. Meine Ideen: zu a) Ich denke hier muss die Zinseszinsformel her, die nach n umgestellt wird. $\begin{eqnarray} n=\frac{ln\frac{Kn}{K0} }{ln(1+i)} \end{eqnarray}$ Dann setze ich für K0= 1500 ein und für Kn= 1657,24... für i würde ich 0,025/4 einsetzen - für den Zinssatz pro Quartal. Kann man das so machen? Dann würde ich für n 15,9999 erhalten, also knapp 16. Das müssten dann auch Quartale sein, oder? Also dann 4 Jahre? zu b) Hier habe ich erstmal ein Verständnisproblem: Ist gemeint, dass sie nur am Anfang des ersten Jahres einmal eine Rate zahlt oder jedes Jahr am Anfang eine Rate? Ich schätze es geht um letzteres. Dann würde ich wie folgt vorgehen: $\begin{eqnarray} 1891,50= R\times 1,025^{3}+ R\times 1,025^{2}+ R\times 1,025 \end{eqnarray}$ Dann rechts R ausklammern und isolieren - dann bekomme ich für R= 599,9970 also knapp 600 ?. Ist das richtig? Bin echt unsicher und wäre dankbar für Eure Hilfe!
24.06.2012, 22:45	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Nini. Die a) ist perfekt gelöst Die b) ist ebenfalls perfekt gelöst. Glückwunsch. Mit freundlichen Grüßen.
24.06.2012, 23:16	Nini2012	Auf diesen Beitrag antworten »
Juhuu Danke, dass Du mir (mal wieder) geholfen hast
24.06.2012, 23:21	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
War ja diesmal echt einfach. Das war ja 1a von Dir. Mit freundlichen Grüßen.
24.06.2012, 23:57	Nini2012	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach, jetz ist mir doch noch was aufgefallen: wie berechne ich den Barwert in b)?
25.06.2012, 00:51	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast recht. Da war doch noch was? Der Barwert wird jedes Jahr mit 2,5% verzinzt. Im Jahr 1. mit 1,025%. Genauso im Jahr 2 und 3. Also ist $\begin{eqnarray} \textrm{Endwert}= K_n=K_0 \cdot 1,025^3 \end{eqnarray}$ Jetzt muss man nur noch nach $\begin{eqnarray} K_0 \end{eqnarray}$ (Barwert) umstellen und ausrechnen. Mit freundlichen Grüßen.
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25.06.2012, 01:07	Nini2012	Auf diesen Beitrag antworten »
merci!
25.06.2012, 01:13	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
De rien. Bonne nuit.
25.06.2012, 10:38	Nini2012	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Kasen, ich schon wieder Ich habe gerade eine ähnliche Aufgabe gefunden, wie die von gestern. Im Aufgabenteil b) ging es ja um eine vorschüssige Zahlung. In der neuen Aufgabe habe ich aber eine nachschüssige Zahlung. Sie wollen das Haus Ihres Onkels über eine Ratenzahlung mit einer konstanten Rate von 80000, die 4 Jahre lang nachschüssig geleistet werden soll, erwerben. Durch welchen Betrag könnten Sie die Zahlungsverpflichtung sofort ablösen, wenn die gesamte Laufzeit mit 2% Zinsen p.a. kalkuliert wird? Spontan habe ich die gleiche Formel verwendet, wie bei der vorschüssigen Zahlung. Aber ich denke das macht keinen Sinn. Welche Formel ist für die nachschüssige Zahlung zu verwenden?
25.06.2012, 13:21	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zins, Zinseszins, Barwert Hallo Nini, bei der nachschüssigen Rente ist am Ende des ersten Jahres noch nichts verzinzt. Also hat man nur die Rate $\begin{eqnarray} r=K_1 \end{eqnarray}$ Am Ende des zweiten Jahres wurde zahlt man wieder eine Rate. Jetzt wird aber erste Rate r verzinzt. Also: $\begin{eqnarray} r + (1+i)r=K_2 \end{eqnarray}$ Am Ende des dritten Jahres wird der Kapitalstock vom Ende des zweiten Jahres mit (1+i) verzinst und man zahlt wieder eine Rate r: $\begin{eqnarray} \underbrace{\underbrace{\bigg( r + (1+i)r \bigg) }_{Kapitalstock \ Ende \ 2. \ Jahres} \cdot (1+i)}_{\textrm{ verzinster Kapitalstock des zweiten Jahres am Ende des 3. Jahres}}+\underbrace{r}_{\textrm{3. Rate}}=K_3 \end{eqnarray}$ Ausmultipliziert und umgestellt: $\begin{eqnarray} r + (1+i)r+(1+i)^2r=K_3 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} r=80.000 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} i=0,02 \end{eqnarray}$ Wie sieht dann $\begin{eqnarray} K_4 \end{eqnarray}$ aus? Wenn du $\begin{eqnarray} K_4 \end{eqnarray}$ hast, dann musst du diesen nur noch auf die Gegenwart abzinsen. Wie gestern, nur mit 4 Jahren: $\begin{eqnarray} K_4 =K_0(1+i)^4 \end{eqnarray*}$ Zur Veranschaulichung, habe ich dir ein Bild der Zahlungsströme bei der nachschüssigen Rente hochgeladen. Bei Fragen, bitte fragen. Mit freundlichen Grüßen.
25.06.2012, 15:13	Nini2012	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zins, Zinseszins, Barwert Ok, dann bekomme ich für K4= 329728,64. Abgezinst sind das dann für K0 ungefähr 304618,3... ist das richtig?
25.06.2012, 15:51	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Perfekt Mit freundlichen Grüßen
25.06.2012, 16:04	Nini2012	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabenteil b) Sie entschließen sich, die Zahlungsverpflichtung sofort abzulösen. Nach zwei Jahren steigt der Zinssatz auf 3% p.a. War Ihre Entscheidung richtig? Dafür hab ich jetzt K4 erneut berechnet, aber für das dritte und vierte Jahr mit dem neuen Zinssatz: $\begin{eqnarray} K4= 80000+80000\times 1,02+ 80000\times 1,03^{2}+ 80000\times 1,03^{3} \end{eqnarray}$ Dann erhalte ich für K4= 333890,16 Für das Abzinsen habe ich folgende Gleichung nach K0 aufgelöst: $\begin{eqnarray} K4= K0\times 1,02^{2}+ K0\times 1,03^{2} \end{eqnarray}$ K0 ist dann bei mir 158896,95... damit wäre die Entscheidung sehr gut, weil die Zahlung nun viel kleiner ist. Es kommt mir aber doch seeeehr wenig vor?!
26.06.2012, 07:19	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Morgen, den Endwert in t=4, bei variablen Zinssatz auszurechnen war eine gute Idee. Dann hast du mit den variablen Zinssätzen abgezinst; so war zumindest die gute Idee. Du hast in deiner Formel nur irgendwie ein $\begin{eqnarray} K_0 \end{eqnarray}$ zuviel. Die Formel ist genau wie letztes Mal. Man muss nur die Verzinsungen in den verschiedenen Zinsperioden splitten. $\begin{eqnarray} K_{4 \ neu}=K_{0 \ neu} (1+i)^2 \cdot (1+i_h)^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} i_h \end{eqnarray*}$ = erhöhter Zinssatz Dann ist das Ergebnis nicht mehr ganz so deutlich. Und wie ist es denn zu interpretieren? Mit freundlichen Grüßen
26.06.2012, 10:20	Nini2012	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ok, K0 natürlich nur einmal Dann habe ich für K0neu 302502,40... also war die Entscheidung richtig, weil weniger gezahlt werden muss als bei der Ratenzahlung Danke vielmals!

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