Partialbruchzerlegung und Integration... Zerlegungsprobleme - Seite 2

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04.07.2012, 23:58	Calam	Auf diesen Beitrag antworten »
Hatte nur was rumprobiert. Aus dem Beispiel aus der Übung werd ich nicht mehr draus schlau, wie man auf den zweiten Nenner gekommen ist. Auch hier gab es komplexe Nullstellen: $\begin{eqnarray} \int_a^b \! \frac{-8x³+12x²+18x-7}{4x²-4x+5} \, dx \end{eqnarray}$ Polynomdivision: $\begin{eqnarray} -2x+1+\frac{32x-12}{4x²-4x+5}= -2x+1+ 4\frac{8x-3}{4x²-4x+5} \end{eqnarray}$ Bis hierhin ja einfach. Nenner hat keine reellen Nullstellen und darum zerlegen wir den Bruch: $\begin{eqnarray} 4\frac{8x-3}{4x²-4x+5} = 4\frac{8x-3}{4x²-4x+5} + \frac{1}{(x-\frac{1}{2})²+1 } \end{eqnarray}$ => alles integriert: $\begin{eqnarray} -x²+x+4ln(4x²-4x+5)+arctan (x-\frac{1}{2}) + C \end{eqnarray}$
05.07.2012, 00:25	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Du switcht auch zwischen den Aufgaben hin und her . Du erkennst hier schnell, dass du die Form f'(x)/f(x) mit dabei hast. Diese ist nicht exakt vorhanden, sondern du musst es davor umformen. Und zwar so wie du es gezeigt hast. (Btw. der erste Summand ist falsch.)
05.07.2012, 00:44	Calam	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist denn das für eine Form f'(x)/f(x)? Wie hilft die mir weiter? Bei dem Beispiel verstehe ich nicht, wie der letzte Summand nach der Zerlegung zustande kommt. (meinst du -2x? warum?)
05.07.2012, 00:48	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 4\frac{8x-3}{4x²-4x+5} = 4\frac{8x-\color{red}4\color{black}}{4x²-4x+5} + \frac{1}{(x-\frac{1}{2})²+1 } \end{eqnarray}$ Wäre das weiterhin ne 3, müsste der weitere Summand ja ne 0 sein :P. Das ist eine Regel die man sich merken sollte. Da lässt sich direkt der Logarithmus drauf "anwenden". Schlage das nach. f'(x)/f(x)
10.07.2012, 12:18	Calam	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, jetzt weiß ich, wie der Zähler f'(x) und der Nenner des letzten Summanden zustande kommen. Wir hatten gestern auch nochmal so ein Beispiel in der Übung; diese Aufgabe habe ich nun verstanden. Das einzige Problem bleibt die Aufgabe vom 4.7. 8 Uhr mit der (x+2). Du sagtest, dass alles richtig ist, allerdings kommt nicht das richtige Ergebnis raus. Es sollen aber 1,6763 rauskommen :/
10.07.2012, 12:33	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \int_8^9 \frac{7x+15}{x²+4x+4}dx \end{eqnarray}$ Du sprichst von dem hier? Da hab ich aber nicht 1.6763 raus. Eher 0.6763 . Passts dann?
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10.07.2012, 14:38	Calam	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja das war der Teil für die Zerlegung. Ursprünglich ist es $\begin{eqnarray} \int_8^9 \frac{-x²-11x-19}{-x²-4x-4} dx \end{eqnarray}$ und durch die Polynomdivision kam vor deinem oben Geschriebenen noch 1 dx dazu. Die Zwischenschritte mit der PD und der Zerlegung hattest du ja als richtig bestätigt
10.07.2012, 15:20	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kann ich auch weiterhin bestätigen: $\begin{eqnarray} \int_8^9 \frac{-x²-11x-19}{-x²-4x-4} dx = \int_8^9 1 dx+ \int_8^9 \frac{1}{(x+2)²}dx + \int_8^9 \frac{7}{x+2} dx \end{eqnarray}$ Du hast entweder einen Fehler bei der Integration der einzelnen Summanden gemacht, oder falsch eingesetzt . Zeig mal her.
10.07.2012, 15:42	Calam	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \int_8^9 \! f(x) \, dx = x-\frac{1}{x+2}+7ln\|x+2\| \end{eqnarray*}$ oder habe ich mich mehrmals beim Taschenrechner vertippt?
10.07.2012, 17:34	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch das ist richtig (Abgesehen von der fehlende eckigen Klammer). Jetzt nur noch die Grenzen einsetzen .
10.07.2012, 17:57	Calam	Auf diesen Beitrag antworten »
Merkwürdig, jetzt habe ich tatsächlich das richtige Ergebnis raus, hab mich dann wohl mehrmals vertippt ^^ Vielen Dank für deine Hilfe und vor allem für deine Geduld!
10.07.2012, 18:59	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Kein Problem. Gerne
14.07.2012, 22:56	Calam	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe doch etwas vergessen Nämlich bei $\begin{eqnarray} \int_a^b \! \frac{-x²+4x-5}{-x²-2x-10} \, dx \end{eqnarray}$ a=-6 b=-5 Polynomdivision ergibt: $\begin{eqnarray} 1+ \frac{-6x-5}{x²+2x+10} \end{eqnarray}$ Meine Idee zur Zerlegung: $\begin{eqnarray} \frac{-6x-5}{(x²+2x+10)}=\frac{2x+2}{(x²+2x+10)}+\frac{-8x-7?}{(x+1)²+9} \end{eqnarray}$ Was nun? A=2x+2 und B=-8x-7 ? $\begin{eqnarray} \frac{(2x+2)(x²+2x+10)}{x²+2x+10}+\frac{(-8x-7)((x+1)²+9)}{(x+1)²+9}=\frac{-6x-5}{x²+2x+10} \end{eqnarray}$ Ich seh den Wald wahrscheinlich vor lauter Bäumen nicht mehr, aber wenn ich die Nenner kürze, komme ich ja auf eine wahre Aussage, mit der ich mich im Kreis drehe bzw. mir nichts bringt.
14.07.2012, 23:05	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Nen Sinn der PBZ sehe ich hier auch nicht. Aber ich würd folgendes sehen: $\begin{eqnarray} 1+ \frac{-6x-5}{x²+2x+10}=1+ \frac{1}{x²+2x+10}-3 \frac{2x+2}{x²+2x+10} \end{eqnarray}$ Letztere Summand ist nun einfach -> Innere Ableitung steht oben. Mittlerer Summand bedarf noch eine kleiner Umformung und du wirst den Arctan benötigen. Viel Spaß .
15.07.2012, 00:42	Calam	Auf diesen Beitrag antworten »
Den letzten Summanden würde ich wie folgt integrieren: $\begin{eqnarray} 3ln\|x²+2x+10\| \end{eqnarray}$ Zum zweiten fällt mir nur ein: $\begin{eqnarray} \frac{1}{(x²+1)+2x+9} \end{eqnarray*}$ ich weiß hier aber nicht, wie ich die 2x+9 da wegkriege
15.07.2012, 10:12	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Denk an die binomische Formel (du hattest es zuvor schonmals gemacht). $\begin{eqnarray} \frac{1}{(x²+2x+1)+9} \end{eqnarray}$

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