kompaktheit menge

25.06.2012, 00:42

lfunk

kompaktheit menge

hi!
man hat einen normierten vektorraum E . wie zeigt man, dass die menge $\begin{eqnarray*} M=\left\{ x\in E \ mit \ ||x||_{E}=1 \right\} \end{eqnarray*}$ kompakt ist?
Ist wahrscheinlich sehr einfach, doch ich schaffe es trotzdem nicht. Soll man zeigen, dass jede offene Überdeckung von M eine endliche Teilüberdeckung von M besitzt? Ansonsten hätte ich nur den Satz folgenkompakt <=> kompakt, doch damit schaffe ich es auch nicht? Kann jemand helfen, zumindest zu sagen, wie man sowas angeht?

25.06.2012, 15:38

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: kompaktheit menge

Zitat:

Original von lfunk
man hat einen normierten vektorraum E . wie zeigt man, dass die menge $\begin{eqnarray*} M=\left\{ x\in E \ mit \ ||x||_{E}=1 \right\} \end{eqnarray*}$ kompakt ist?

Garnicht, denn die Behauptung ist falsch.

Falls du die [nicht erwähnte] Voraussetzung $\begin{eqnarray*} \dim(E)=n<\infty \end{eqnarray*}$ hast, dann kannst du einen Homöomorphismus von $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ finden und Bolzano-Weierstrass nutzen.

25.06.2012, 18:46

LFUNK

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi!
Das verstehe ich nicht. Was genau soll dieser Homoomorphismus ssein? (also welche Funktion?) und wieso gibt es den nur, wenn die Dimension endlich ist?
Verstehe ehrlich gesagt auch nicht, was der bringen soll? Bolzano Weierstrass gilt in $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{n} \end{eqnarray*}$ , wieso gilt er dann auch in E, nur, weil ich eine Abbildung von E nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{n} \end{eqnarray*}$ habe verwirrt

26.06.2012, 09:02

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Zuerst einmal: Hast du nun die Voraussetzung $\begin{eqnarray*} \dim(E)<\infty \end{eqnarray*}$ oder nicht?

Also ich nehme mal $\begin{eqnarray*} \dim(E)=n<\infty \end{eqnarray*}$ an. Dann gibt es eine Basis $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_n \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ , das heisst pro Vektor $\begin{eqnarray*} v\in E \end{eqnarray*}$ gibt es eindeutige Zahlen $\begin{eqnarray*} \alpha_1,...,\alpha_n \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ [oder vielleicht $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ , was du auch nie erwähnt hast] derart, dass
$\begin{eqnarray*} v=\alpha_1v_1+...+\alpha_nv_n \end{eqnarray*}$ .

Sei nun $\begin{eqnarray*} e_1,...,e_n \end{eqnarray*}$ die Standardbasis von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ . Betrachte dann die [lineare !] Abbildung
$\begin{eqnarray*} f: E\to\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} f(\alpha_1v_1+...+\alpha_nv_n)=\alpha_1e_1+...+\alpha_nv_n \end{eqnarray*}$ .

Von der Abbildung musst du dann zeigen, dass sie invertierbar ist, dann folgt automatisch [da die Vektorräume endlichdimensional sind], dass auch die Umkehrabbildung stetig ist. Das heisst $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist ein Homöomorphismus.

Nun eine beschränkte Folge in $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ wird via $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf eine beschränkte Folge in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ abgebildet. Nutze dort Bolzano-Weierstrass und gehe via $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ zurück zu $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ .

26.06.2012, 21:36

LFUNK

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi!
Danke bis hierhin, jetzt ist eigentlich schon alles klar. Was ich nur noch nicht hinkriege ist dass die beschränkte Folge in E durch f auf eine beschränkte Folge in R^n abgebildet wird. Ist das irgendwie trivial bzw nur Rechnerei oder brauche ich da einen bestimmten Satz für?

27.06.2012, 08:42

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn die Folge in $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ beschränkt ist, dann sind auch die Folgen der Koeffizienten in der Basisdarstellung beschränkt [Dreiecksungleichung]. Das liefert $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ beschränkte Folgen im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ . Jede dieser hat eine konvergente Teilfolge. Daraus kannst du eine konvergente Folge in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ basteln [Diagonalargument].

27.06.2012, 10:47

lfunk

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi!
Ja also mein Problem war die Abschätzung der Koeffizienten in der basisdarstellung. Also bspw für n=2 habe ich doch $\begin{eqnarray*} ||a_{n}v_{1}+b_{n}v_{2}||_{E}<C \end{eqnarray*}$ für alle n. Und das ist kleiner als $\begin{eqnarray*} |a_{n}|||v_{1}||+|b_{n}|||v_{2}|| \end{eqnarray*}$ und diese Summanden muss man doch noch abschätzen, nur wie? Könnten bspw nicht die a_n gegen + unendlich un die b_n gegen minus unendlich und dann addiert sich das in $\begin{eqnarray*} ||a_{n}v_{1}+b_{n}v_{2}||_{E} \end{eqnarray*}$ zu einem Element in E mit kleiner Norm?... Also ich sehs irgendwie nicht ?

27.06.2012, 12:05

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Auf einem endlichdimensionalen Vektorraum sind alle Normen äquivalent, das heisst die Folge ist ebenfalls in der Maximumsnorm beschränkt.

27.06.2012, 12:10

lfunk

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi!
Ok, dann ist alles klar, dachte das mit der Äquivalenz gilt nur im R^n.
Dankeschön Freude

Neue Frage »

Antworten »

kompaktheit menge

Verwandte Themen