Verknüpfung zahlentheo. Fkt.

25.06.2012, 11:02

JuPee

Verknüpfung zahlentheo. Fkt.

Aufgabe:
Für alle $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb Z_{\geq 1} \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ die Möbiusfunktion und $\begin{eqnarray*} C: \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{\geq 1} \to \mathbb C \end{eqnarray*}$ die Einsfunktion.
Definiere $\begin{eqnarray*} h: \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{\geq 1}\to \mathbb C \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} n \to \frac{| \mu(n) | }{\varphi (n) } \end{eqnarray*}$ . Man zeige $\begin{eqnarray*} \left(C \ast h\right) \left(n\right) = \frac{n}{\varphi (n) } \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb Z_{\geq 1} \end{eqnarray*}$ .

Idee:
Es ist doch richtig, dass die Einsfunktion jedem Wert von n die 1 zuordnet, oder?
Damit müsste doch folgende Gleichung gelten:
$\begin{eqnarray*} \left(C \ast h\right) \left(n\right) = \sum\limits_{d| n } h (d) = \sum\limits_{d| n } \frac{| \mu (d) | }{\varphi(d)} \end{eqnarray*}$

Weiter kann $\begin{eqnarray*} |\mu (d) | = 1 \end{eqnarray*}$ (wenn d quadratfrei oder 1) oder $\begin{eqnarray*} |\mu (d) | = 0 \end{eqnarray*}$ (sonst) sein.

Aber wie komm ich auf $\begin{eqnarray*} \frac{n}{\varphi (n) } \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

25.06.2012, 11:30

HAL 9000

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Es ist

$\begin{eqnarray*} \sum_{d \mid n} \frac{|\mu(d)|}{\varphi(d)} = \sum\limits_{\substack{d \mid n\\ d~\mathrm{quadratfrei}}} \frac{1}{\varphi(d)} \stackrel{!}{=} \prod\limits_{p\mid n} \left( \sum_{k=0}^1 \frac{1}{\varphi(p^k)} \right) \end{eqnarray*}$ ,

dabei steht $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ als Summationsindex natürlich (wie üblich in solchen Notationen) für Primteiler. Das sollte weiterhelfen.

P.S.: Bei der Gleichheit $\begin{eqnarray*} \stackrel{!}{=} \end{eqnarray*}$ wird genutzt, dass $\begin{eqnarray*} \varphi(d) \end{eqnarray*}$ und in der Folge dann auch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\varphi(d)} \end{eqnarray*}$ multiplikativ in $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ sind, und dass außerdem die Primfaktorzerlegungen dieser Teiler $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ wegen der Quadratfreiheit nur die Exponenten 0 oder 1 aufweisen können.

25.06.2012, 12:51

JuPee

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Ok, vielen Dank! Ich konnte die Gleichung auf die gewünscht Form umformen.

Allerdings ist mir die Gleichheit, die du mit deinem PS schon versucht hast zu erklären, noch nicht ganz klar.

Muss man dann auch noch den Fall zeigen, wenn d nicht quadratfrei?

25.06.2012, 13:08

HAL 9000

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Zitat:

Original von JuPee
Muss man dann auch noch den Fall zeigen, wenn d nicht quadratfrei?

Wozu das denn? geschockt

Über welche $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ wird denn summiert? Bisschen genauer solltest du schon nachdenken, bevor du solche Fragen stellst.

25.06.2012, 17:20

Mystic

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Unter rein formalen Gesichtspunkten, wird der Beweis noch eine Spur einfacher, wenn man berücksichtigt, dass alle involvierten Funktionen multiplikativ (teilweise sogar stark multiplikativ) sind und sich die Eigenschaft der Multiplikativität auch auf das Faltungsprudukt überträgt, wenn sie für die Faktoren gilt... Es genügt dann nämlich den Nachweis nur für den Fall zu führen, wo n eine Primzahlpotenz ist...

25.06.2012, 17:24

JuPee

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Zitat:

Bisschen genauer solltest du schon nachdenken, bevor du solche Fragen stellst.

Ja ok, die Frage war wirklich überflüssig ... Danke. Habe die Aufgabe jetzt geschafft!!

Aber wir haben noch eine Aufgabe mit zahlentheoretischen Funktionen!

Aufgabe:
Also die Voraussetzungen bleiben und $\begin{eqnarray*} \omega (n) \end{eqnarray*}$ ist die Anzahl der verschiedenen Primteiler von n. Man berechne die Funktion $\begin{eqnarray*} \omega \ast \mu \end{eqnarray*}$ .

Idee:
$\begin{eqnarray*} (\omega \ast \mu) (n) = \sum\limits_{d| n } \mu (d) \omega \left(\frac{n}{d} \right) \end{eqnarray*}$

Ist $\begin{eqnarray*} \omega (d) \end{eqnarray*}$ ungerade, ist $\begin{eqnarray*} \mu (d)=-1 \end{eqnarray*}$ und ist $\begin{eqnarray*} \omega (d) \end{eqnarray*}$ gerade, ist $\begin{eqnarray*} \mu (d)=1 \end{eqnarray*}$ . (Ausnahme: bei $\begin{eqnarray*} d=1 \end{eqnarray*}$ , da müsste beides 1 sein.)

Nützt mit das was? Für einen Tipp wäre ich dankbar!

25.06.2012, 18:02

Leopold

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Für $\begin{eqnarray*} n=p \end{eqnarray*}$ prim kannst du $\begin{eqnarray*} (\omega \ast \mu)(n) \end{eqnarray*}$ direkt berechnen. Und dann nimm noch ein paar einfache zusammengesetzte Zahlen und berechne ihre Funktionswerte.

25.06.2012, 18:33

Mystic

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Zitat:

Original von JuPee
$\begin{eqnarray*} (\omega \ast \mu) (n) = \sum\limits_{d| n } \mu (d) \omega \left(\frac{n}{d} \right) \end{eqnarray*}$

Leider hast du die Lektion von oben offenbar noch immer nicht ganz verinnerlicht, denn der entscheidende Schritt ist auch hier wieder, dass man sich auf quadratfreie d beschränkt...

25.06.2012, 18:38

Leopold

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Vielleicht so: Es sei $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ die charakteristische Funktion der Primzahlen (also $\begin{eqnarray*} \pi(n)=1 \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eine Primzahl ist, und $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ sonst).
Zeige mit dem $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ von vorhin:

$\begin{eqnarray*} \omega = C \ast \pi \end{eqnarray*}$

Und jetzt beachte, daß $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ das Inverse von $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ bezüglich der Faltung ist.

25.06.2012, 18:58

Mystic

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@Leopold

Ja, ist natürlich superelegant, keine Frage... Freude

Aber außer der Tatssache, dass du für JuPee nun rein gar nichts mehr an eigener Denkarbeit übrig gelassen hast, mißfällt mir auch deine abuse of notation: Die Funktion $\begin{eqnarray*} \pi(x) \end{eqnarray*}$ hat in der Zahlentheorie von altersher die Bedeutung, dass sie die Anzahl der Primzahlen $\begin{eqnarray*} \le x \end{eqnarray*}$ angibt... geschockt

25.06.2012, 19:28

JuPee

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Danke, euch beiden. Ich glaube, dass ich sie hinbekommen habe smile

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