Mikroökonomie, Optimaler Konsumplan/Versicherungssumme, Lagrange

25.06.2012, 12:16	Alex20	Auf diesen Beitrag antworten »
Mikroökonomie, Optimaler Konsumplan/Versicherungssumme, Lagrange Hallo! Ich habe folgende Aufgabe zu lösen: Ein Individuum überlegt, eine Versicherung gegen einen unsicheren Schadensfall abzuschließen: Das Individuum kann sein Vermögen $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ mit einer Wahrscheinlichkeit von $\begin{eqnarray} 1-\pi \end{eqnarray}$ behalten, während mit einer Wahrscheinlichkeit von $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ ein Verlust in Höhe von $\begin{eqnarray} D, W>D>0 \end{eqnarray}$ eintritt. Das Individuum kann sich durch den Kauf einer Versicherung in Höhe von $\begin{eqnarray} K\leq D \end{eqnarray}$ gegen den unsicheren Schadensfall absichern. In diesem Fall bezahlt es pro Einheit Versicherung eine Prämienrate $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ . Die Präferenzen des risikoaversen Individuums können mithilfe einer Erwartungsnutzenfunktion dargestellt werden, wobei diese $\begin{eqnarray} u(y)=2\sqrt{y} \end{eqnarray}$ lautet. a) Wie lautet das Nutzenmaximierungsproblem des Individuums? Berechnen Sie die Versicherungsnachfrage des Individuums. Gemäß unseres Skriptums habe ich zuerst die Lagrange-Funktion zur Maximierung der Erwartungsnutzenfunktion unter den Nebenbedingungen $\begin{eqnarray} y_1=W-D+(1-p)K<br /> y_2=W-pK<br /> 0\leq K\leq D \end{eqnarray}$ wie folgt aufgestellt: $\begin{eqnarray} L=\pi u(y_1)+(1-\pi )u(y_2)-\lambda_1(y_1-(W-D+(1-p)K)-\lambda_2 (y_2-W+pK) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} L=2\pi \sqrt{y_1} +2(1-\pi )\sqrt{y_2} -\lambda_1(y_1-(W-D+(1-p)K)-\lambda_2(y_2-W+pK) \end{eqnarray}$ und diese dann nach $\begin{eqnarray} y_1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} y_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ abgeleitet, wobei sich folgende Optimalitätsbedingung ergibt: $\begin{eqnarray} \frac{\pi u'(y_1)}{(1-\pi)u'(y_2)} = \frac{\pi/\sqrt{y_1}}{(1-\pi)/\sqrt{y_2}} = \frac{\pi }{1-\pi }=\frac{p}{1-p} \end{eqnarray}$ Falls die Ableitungen richtig sind, ist alles konform mit dem Skriptum, nur wird dort nirgends erwähnt, wie man auf die optimale Versicherungssumme $\begin{eqnarray} K^ \end{eqnarray}$ und den optimalen Konsumplan $\begin{eqnarray} (y_1, y_2) \end{eqnarray*}$ kommt. Ich muss dazu sagen, dass ich eigentlich keine Erfahrung mit Lagrange-Funktionen mit mehreren Nebenbedingungen habe. Hat irgendjemand einen Denkanstoß für mich? Hab schon ziemliche Panik vor der Klausur morgen. Danke schonmal vorweg!
26.06.2012, 16:54	Alex20	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, für alle die das selbe Problem haben (was ich bezweifle, aber man weiß ja nie ^^) - hier die Lösung: $\begin{eqnarray} y_1=W-D+(1-p)K \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y_2=W-pK \end{eqnarray}$ Optimalitätsbedingung: $\begin{eqnarray} \frac{\pi\sqrt{y_2} }{(1-\pi)\sqrt{y_1} } =\frac{p}{1-p} \end{eqnarray}$ Dann einfach die beiden Nebenbedingungen in die Optimalitätsbedingung einsetzen, also $\begin{eqnarray} \frac{\pi\sqrt{W-pK} }{(1-\pi)\sqrt{W-D+(1-p)K} }=\frac{p}{1-p} \end{eqnarray}$ Nach K aufgelöst ergibt gemäß Maple folgenden schönen Ausdruck: $\begin{eqnarray} K^=\frac{-2Wp\pi^2-Wp^2+2Wp^2\pi+W\pi^2+p^2D-2p^2D\pi+p^2D\pi^2}{p(p-2\pi p-p\pi^2-p^2+2p^2\pi+\pi^2)} \end{eqnarray}$ Damit hätten wir die optimale Versicherungsnachfrage. Das könnt ihr dann in die beiden Nebenbedingungen einsetzen und erhaltet den optimales Konsumplan $\begin{eqnarray} (y_1^, y_2^) \end{eqnarray*}$

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