Fläche Doppelintegral

25.06.2012, 16:20

Fläche Doppelintegral

Meine Frage:
Hallo Leute, wäre sehr nett, wenn Sie mir bei folgender Aufgabe helfen würden

Berechnen Sie die von den Kurven $\begin{eqnarray*} y^2 = 2 - x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y = x \end{eqnarray*}$ eingeschlossene Fläche mit Hilfe eines
Doppelintegrals.
das sieht dann so aus

http://www4c.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP16531a2364gea3bf1816000030dh20c13cdffibh?MSPStoreType=image/gif&s=49&w=399&h=191&cdf=RangeControl

ich dachte
[latex]
\int_0^2\int_2x-1^x
[latex]
doch das ist doch Volumen.. oder?

Meine Ideen:
oben

25.06.2012, 16:34

komplexer

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RE: Fläche Doppelintegeral

Zitat:

Original von Am
Berechnen Sie die von den Kurven $\begin{eqnarray*} y^2 = 2 - x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y = x \end{eqnarray*}$ eingeschlossene Fläche mit Hilfe eines
Doppelintegrals.
das sieht dann so aus

http://www4c.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP16531a2364gea3bf1816000030dh20c13cdffibh?MSPStoreType=image/gif&s=49&w=399&h=191&cdf=RangeControl

Deine Zeichnung ist falsch.
Die eine Kuve ist die Ursprungsgerade, aber die andere ist gegeben durch:
$\begin{eqnarray*} y^{{\color{red}2}}=2-x \end{eqnarray*}$
Das ist keine lineare Funktion!

Zitat:

Original von Am
ich dachte
[latex]
\int_0^2\int_2x-1^x
[latex]
doch das ist doch Volumen.. oder?

Du musst den LaTeX-Code mit

code:
1:	[/latex]

beenden, sonst wirds nicht richtig angezeigt.
Ein Doppelintegral ist in der Regel kein Volumen, sondern eine Fläche.

25.06.2012, 16:42

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RE: Fläche Doppelintegeral
O stimmt ja...
wäre es so richtig?

$\begin{eqnarray*} <br /> A=\int_0^{\sqrt{2}}\int_x^{\sqrt{2-x}}1dydx<br /> \end{eqnarray*}$

25.06.2012, 16:54

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Nein.
Mach Dir eine Zeichnung. Ich würde das Integral in zwei Teilintegrale aufteilen. Einmal von -2 bis 1 und dann von 1 bis 2
Wieso ist bei Dir x eine untere Grenze und wie kommst Du auf die Grenzen für x?

25.06.2012, 17:14

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ok, hab jetzt die Zeichnung:

www4b.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP12021a23681203a3di0100002cci3adbggae36cd?MSPStoreType=image/gif&s=29&w=385&h=290&cdf=RangeControl
und die grenzn in x Richtung scheinen -2 bis 2
und die y Abhängigen Fkts $\begin{eqnarray*} 2-y^2 \end{eqnarray*}$ und y (untere Fkt)

dann könnte man meinen
die grenzen sind
$\begin{eqnarray*} \int_{-2}^{2}\int_y^2-y^2 dxdy \end{eqnarray*}$

25.06.2012, 17:16

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o sorry quatsch
grenzen von -2 bis 2 und von y bis $\begin{eqnarray*} 2-y^2 \end{eqnarray*}$

25.06.2012, 17:36

komplexer

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Zitat:

Original von Am
ok, hab jetzt die Zeichnung:

www4b.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP12021a23681203a3di0100002cci3adbggae36cd?MSPStoreType=image/gif&s=29&w=385&h=290&cdf=RangeControl

Das sieht schon besser aus.

Zitat:

Original von Am
und die grenzn in x Richtung scheinen -2 bis 2
und die y Abhängigen Fkts $\begin{eqnarray*} 2-y^2 \end{eqnarray*}$ und y (untere Fkt)

Die obere Grenzen für y ist für
$\begin{eqnarray*} x\in [-2,1] \end{eqnarray*}$
x, aber für
$\begin{eqnarray*} x\in [1,2] \end{eqnarray*}$
ist sie eine andere, deshalb habe ich Dir vorgeschlagen, das Integral in zwei Teilintegrale aufzuteilen. Warum tust Du es nicht?

Zitat:

Original von Am
und die y Abhängigen Fkts $\begin{eqnarray*} 2-y^2 \end{eqnarray*}$ und y (untere Fkt)

Kannst Du das bitte in einen sinnvollen deutschen Satz verpacken? Das verstehe ich nicht.

Zitat:

Original von Am
grenzen von -2 bis 2 und von y bis $\begin{eqnarray*} 2-y^2 \end{eqnarray*}$

die Grenzen von y sollten von x abhängen, nicht von y.

25.06.2012, 18:29

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hmm, sorry ist mir nicht ersichtlich.. könnten Sie mir vielleicht die Lösung schreiben, ich kann dann vielleicht besser nachvollziehen, muss auch die anderen Aufgaben vorbereiten smile

25.06.2012, 18:36

komplexer

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Du brauchst mich nicht zu siezen Augenzwinkern

Ich zeige es Dir für das Integral von -2 bis 1:
$\begin{eqnarray*} A_{1}=\int_{-2}^{1}\int_{-\sqrt{2-x}}^{x}\,\mathrm{d}y\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$
Jetzt bist Du dran mit dem zweiten Integral für das Intervall 1 bis 2. Die Gesamtfläche ist dann die Summe beider Flächen.

25.06.2012, 18:52

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oki gut)
hmm das mit dem $\begin{eqnarray*} <span style="color: tomato;">-</span>\sqrt{2-x} \end{eqnarray*}$ versteh ich nicht Funktion war doch positiv gegeben verwirrt

25.06.2012, 18:53

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oki gut)
hmm das mit dem $\begin{eqnarray*} -\sqrt{2-x} \end{eqnarray*}$ versteh ich nicht Funktion war doch positiv gegeben verwirrt

25.06.2012, 19:11

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Zitat:

Original von Am
hmm das mit dem $\begin{eqnarray*} -\sqrt{2-x} \end{eqnarray*}$ versteh ich nicht Funktion war doch positiv gegeben verwirrt

$\begin{eqnarray*} y^2=2-x\Leftrightarrow y=\pm\sqrt{2-x} \end{eqnarray*}$
ist keine Funktion, sondern eine Kurve, die lässt sich darstellen durch zwei Funktionen (Schau Dir nochmal die Definition einer Funktion an und mach Dir klar, warum das oben keine ist). Die eine stellt den Teil der Parabel dar, die oberhalb der x-Achse ist und die anderen den Teil der unterhalb ist. An der Zeichnung erkennst Du, dass die untere Grenze die ist, die unterhalb der x-Achse liegt. Deshalb das negative Vorzeichen.

25.06.2012, 19:22

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aha, ok hab das princip jetzt kapiert.. das integral von 1 bis 2 wird dann wahrscheinlich von $\begin{eqnarray*} \sqrt{2-x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -\sqrt{2-x} \end{eqnarray*}$ begrenzt)) ist das jetzt richtig?

25.06.2012, 20:03

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Zitat:

Original von Am
aha, ok hab das princip jetzt kapiert.. das integral von 1 bis 2 wird dann wahrscheinlich von $\begin{eqnarray*} \sqrt{2-x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -\sqrt{2-x} \end{eqnarray*}$ begrenzt)) ist das jetzt richtig?

Ja.

25.06.2012, 20:11

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super vielen Dank für die schöne Erklärung, hab das jetzt wirklich besser kapiert! Wink

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