Randdichte bestimmen: Rechentipps

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Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
Randdichte bestimmen: Rechentipps
Meine Frage:
Moin, ich habe die Dichtefunktion der zweidimensionalen Normalverteilung mit Mittelwert , den Varianzen und dem Korrelationskoeffizienten gegeben, d.h.

.


Ich würde gerne die Randdichten bestimmen.

Kann mir dabei jemand helfen, ich finde die Rechnung relativ gewaltig. Ich glaube, man muss bestimmte Umformungen bzw. Vereinfachungen sehen, die ich nicht sehe.

Meine Ideen:
1. Randdichte:









Kann mir vielleicht jemand sagen, wie es weitergehen könnte?


LG

Dennis
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Deine quadratische Ergänzung ist in die falsche Richtung gelaufen, was aber wegen der vorherrschenden Symmetrie leicht zu korrigieren ist:



Ziehst du jetzt noch das als Faktor aus dem Integral, dann steht im Integranden (bis auf einen zu korrigierenden Vorfaktor) die Dichte einer eindimensionalen Normalverteilung ...
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey, HAL 9000! Danke für die Hinweise!

Ich habe nun dieses:



und ist nicht das Integral 1, weil doch der Integrand eine Dichte ist?


Also: ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es. Freude
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal danke! Wink
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Analog müsste man dann zu der Randdichte



kommen.

Nun würde ich gerne die bedingte Dichte berechnen, die sich als



ergibt.


Ich komme hierbei auf

.

Kann man dies noch weiter kürzen bzw. zusammenfassen?




Viele Grüße!
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich halte es für problematisch, die Bedeutung, welche Dichte man gerade meint, einfach den Argumentnamen zu überlassen. Ich weiß, dass viele diesen Stil pflegen, aber spätestens wenn man dann für den Wert einsetzt, geht dieser Sinngehalt flöten. unglücklich


Kurzum, ich würde es eher so schreiben:



oder eben

,

du scheinst dich ja nicht richtig entscheiden zu können, ob du nun Argument oder nimmst (vermutlich aus den von mir genannten Gründen).


Zum eigentlichen Inhalt: Eigentlich kommt man mit derselben quadratischen Ergänzung wie oben zu einem "runden" Resultat, dass nämlich diese bedingte Verteilung auch wieder eine Normaverteilung ist, nur eben diesmal keine Standardnormalverteilung.


P.S.: Oben hätte es auch schon heißen müssen, eigentlich wäre da schon Zeit für diese Schelte gewesen - das hab ich wohl schleifen lassen.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Randdichte bestimmen: Rechentipps
Danke für die Notationshinweise.

Ich schreibe jetzt statt .

Wenn ich mich nicht verzettelt habe, komme ich dann erstmal auf:






Ich habe schon selbst herausgefunden, daß ich mich vertan habe.

Also, hier die Korrektur.


Rechnen muss ich:



Und dies ist identisch mit

.

Und dies ist die Dichte einer Normalverteilung bzw. .


Korrekt?

edit von sulo: Doppelpost zusammengefügt.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Freude
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke.

Dann habe ich jetzt allerdings noch eine Frage (jaja, die Fragen gehen nie aus...):

Und zwar lese ich bei Jaynes, S. 14 ff. des pdf-Dokuments, ganz unten für die oben von mir bestimmten Dichten jeweils (für mein Auge) andere Resultate, die ich mit meinen Ergebnissen nicht überein bekomme. Abgesehen davon, daß ich dessen Schreibweise für die Dichten sowieso sehr befremdlich finde, aber davon sehe ich jetzt mal ab.

Es beginnt schon mit der Dichte , die sich dort so findet:




(Dies soll, wenn ich das korrekt verstehe, diejenige Dichte sein, die ich mit bezeichnet habe, also .)


Das unterscheidet sich - jedenfalls für mein Auge - erheblich von dem, was ich benutzt habe.


Ebenso dann die Randdichten, die dort stehen als:



sowie




Für die bedingte Dichte von , gegeben erhält Jaynes schließlich

.

Insbesondere dieses letzte Resultat verwirrt mich! Denn ich hatte doch heraus (in der Notation von Jaynes), daß die bedingte Dichte diejenige einer Normalverteilung ist, hier scheint es aber eine Dichte einer Normalverteilung zu sein. Wie kann denn das zu erklären sein?




Nun möchte ich nicht ausschließen, daß ich Tomaten auf den Augen habe, aber: Wie hängen denn Jaynes' Ergebnisse mit dem zusammen, was ich ermittelt habe? Ich sehe es nicht.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
Es beginnt schon mit der Dichte , die sich dort so findet:




(Dies soll, wenn ich das korrekt verstehe, diejenige Dichte sein, die ich mit bezeichnet habe

Nein, ist sie offenbar nicht: Deine Dichte beschreibt eine Normalverteilung mit Kovarianzmatrix und ihrer Inversen , diese hier hingegen eine NV mit Kovarianzmatrix , welche die Inverse hat.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Kovarianzmatrix



Dann ist das mit "variance unity" gemeint?


Falls ja, habe ich das total missverstanden.




Edit: Falls Du das so schnell beurteilen kannst: Könnte ich denn das, was Jaynes da zeigt (Borel-Paradox) auch mit meiner Dichte zeigen? Dann müsste ich nicht alles ummodeln.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
Könnte ich denn das, was Jaynes da zeigt (Borel-Paradox) auch mit meiner Dichte zeigen?

Ich weiß leider nicht, von welchem Paradox du da redest.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Und wieso heißt die Kovarianzmatrix "variance unity"?




----

Das Borel Paradox ist, daß man bei Koordinatentranformation auf eine andere Dichte kommt.

Aber das ist nicht so wichtig für meine Frage, da kann ich selbst noch austesten, ob verschiedene Dichten auch bei bei meiner Dichte herauskommen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Merkwürdiger Stil: Eine Frage nach der anderen, ohne die Gegenfragen zu beantworten - na egal.

EDIT: Achso, da steht ja nochwas.


Zur Frage "unity variance" im Zusammenhang mit dieser Dichte kann ich nur Heine zitieren:

"Ich weiß nicht was soll es bedeuten..."
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Kann bitte ein Admin die letzten 3 bis 4 meiner Beiträge löschen, damit ich nicht zu viel gepostet habe? Ich stelle meine Frage lieber nochmal konkreter:

Ich versuche immer noch das Beispiel von Jaynes zu verstehen! Jaynes, Paradoxes of Probability Theorie, S. 14 unten und folgende





Und zwar scheitere ich an Folgendem:

Gegeben sei die Dichte einer bivariaten Normalverteilung mit Korrelationskoeffizient p, und zwar folgende:




Die Randdichten ergeben sich dann als

(*)

(**)


Damit errechne ich die bedingte Dichte von x, gegeben, daß als:



Ist hat man also

.

So weit, so gut. Bis hierhin habe ich alles verstanden und genau so wie Jaynes auch ausgerechnet.

Nun soll man die y-Koordinate transformieren durch .

Die "neue" Dichte habe ich dann errechnet als:



(bei Janyes fehlt meines Erachtens ein x.)

Die "neue" Randdichte ist auch nach meiner Rechnung identisch mit (*).


Und nun kommt der Knackpunkt, an dem ich einfach nicht weiterkomme !

Es soll ja am Ende herauskommen, daß die bedingte Dichte um den Faktor abweicht von der obigen bedingten Dichte .

Ich berechne diese ja so:




Aber ich komme auf

und dann würde sich das ja wegkürzen und es käme eben nicht das Gewünschte heraus.





Ich weiß nicht weiter. Könnt Ihr mir bitte helfen?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Da HAL9000 bisher nicht geanwortet hat:
Du machst mal wieder simple Fehler. Trotzdem hast du auch einen Fehler bei Jaynes entdeckt, der aber für das Paradoxon unerheblich ist. Aber der Reihe nach:

Zitat:
Original von Dennis2010
Es soll ja am Ende herauskommen, daß die bedingte Dichte um den Faktor abweicht von der obigen bedingten Dichte .

Ich berechne diese ja so:


Das ist nicht richtig. Richtig wäre:



Zitat:
Aber ich komme auf

und dann würde sich das ja wegkürzen und es käme eben nicht das Gewünschte heraus.

Wie soll denn das herauskommen??? Es ist doch:



Da über x integriert wird, kann das Ergebnis doch nicht mehr von x abhängen.


Es ist aber nicht richtig, wie Jaynes sagt, dass gilt:



Richtig ist:



Jaynes hat offenbar übersehen, dass die beiden Normierungskonstanten und im allgemeinen nicht gleich sind. Am Borel-Paradox ändert sich dadurch nichts.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, Huggy!

Deine Hinweise habe ich verstanden, insbesondere auch die über Janyes' "Fehler".


Ich habe jedoch noch Probleme zu berechnen.








Wie berechnet man das?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Mit einer allgemeinen Funktion f(x) wird sich das Integral nicht bestimmen lassen. Und bei konkret gegebenem f(x) hängt es von f(x) ab, ob eine formelmäßige Integration möglich ist.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, jetzt verstehe ich.

Deswegen benutzt man diese ad-hoch Vorgehensweise mit der Normierungskonstante?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön!
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