Wie sind Funktionen der Form f(x,y) zu verstehen?

25.06.2012, 18:10

ee-Matze

Wie sind Funktionen der Form f(x,y) zu verstehen?

Hi,

Ich hab eine Funktion die folgendermaßen definiert wird:

$\begin{eqnarray*} f:R^2 (->) R : (x,y) (|->) x+y+4 \end{eqnarray*}$

Diese Ausdrücke (->) und (|->) sollen Pfeile sein.

Wie ist nun diese Funktion zu verstehen? Also wie soll man sich die graphisch vorstellen? Denn es handelt sich doch um den 2-dimensionalen Raum, oder?

Ich bitte um Hilfe. Ich bin ein bisschen verwirrt.

Oder sind mit $\begin{eqnarray*} R^2 \end{eqnarray*}$ nur die Funktionswerte gemeint?

25.06.2012, 18:37

Helferlein

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Die Funktion bildet von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ab, also wird jedem Punkt der Ebene ein Wert zugeordnet.
Man benötigt also ein dreidimensionales Koordinatensystem zur Darstellung.

26.06.2012, 17:42

ee-Matze

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Also wird jedem Punkt auf der "Bodenfläche" (also x,y-Ebene) ein z-Wert zugeordnet?

Wie heißt das System denn dann? Gibts dafür nen Namen?

Und wie bilde ich da dann Ableitungen? Genau wie im 2-Dimensionalen nur, dass ich nach x UND y ableite?

Danke schonmal und sorry, dass ich mich erst jetzt zurückmelde.

26.06.2012, 19:02

Dopap

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Zitat:

Original von ee-Matze

Wie heißt das System denn dann? Gibts dafür nen Namen?

Und wie bilde ich da dann Ableitungen? Genau wie im 2-Dimensionalen nur, dass ich nach x UND y ableite?

Man kann das Ganze anschaulich in den $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ legen.
Ich würde als Namen, Fläche im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ nehmen.

1.te- Ableitungen gibt es logischerweise 2 , die partiellen Ableitungen

$\begin{eqnarray*} f_x(x,y) ~\text{\color {red}{oder}} ~ f_y(x,y) \end{eqnarray*}$

2.te- Ableitungen gibt es 4

$\begin{eqnarray*} f_{xx}, \, f_{xy},\, f_{yx},\, f_{yy} \end{eqnarray*}$

26.06.2012, 19:26

ee-Matze

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Ok...also lässt sich das so übertragen:
Während bei Funktionen wie f(x)=x die Funktion im 2-dimensionalen gezeichnet wird, obwohl es nur x als Variable gibt liegt der Graph von f(x,y)=x+y im 3 dimensionalen.
Ich hoffe, ihr versteht wie ich das meine.

Und es gibt je eine Ableitung für die x-Richtung und eine für die y-Richtung? Also wird das als Neigung einer Ebene angegeben, die in 2 Komponenten angegeben wird.

Alles richtig?

26.06.2012, 19:51

Dopap

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Zitat:

Original von ee-Matze

Und es gibt je eine Ableitung für die x-Richtung und eine für die y-Richtung?

ja. Und diese Ableitung im Vektor zusammengefasst, heisst dann der Gradient-Vektor.

Zitat:

Also wird das als Neigung einer Ebene angegeben, die in 2 Komponenten angegeben wird.

Ich würde bei einer Ebene diesen Begriff weglassen. Hier gibt es ja den Normalenvektor , der überall senkrecht steht.

Bei echten Flächen wie $\begin{eqnarray*} f(x,y)= 2x^3-y^2 \end{eqnarray*}$ müsste man sich nochmals über Begriffe wie "Neigung" gesondert unterhalten.

26.06.2012, 20:56

ee-Matze

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Ok. In den Grundzügen hab ichs jetzt glaube ich verstanden.
Aber wie bestimmt man denn jetzt die Ableitung? Ist das vergleichbar mit "einfachen" f(x)-Funktionen?

26.06.2012, 21:14

Dopap

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ganz einfach. nur wechselt die abzuleitende Variable.

$\begin{eqnarray*} f(x,y)= x^3y^2+2x+y \Rightarrow<br /> <br /> f_x(x,y)= 3x^2y^2+2<br /> <br /> f_y(x,y)=2x^3y+1 \end{eqnarray*}$

26.06.2012, 21:59

ee-Matze

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Achso. Ok...und aus den beiden kann man dann den Gradient-Vektor bestimmen. Alles klar.

Ich glaub jetzt hab ichs verstanden.
Danke!

26.06.2012, 22:42

Dopap

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genau, das ist der GradientVektor. Der gibt die Richtung des stärksten Anstieges an.
Mehr aber nicht.

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