Geometrie im Raum: Menge aller Punkte bestimmen

25.06.2012, 18:24	tobi1223	Auf diesen Beitrag antworten »
Geometrie im Raum: Menge aller Punkte bestimmen Meine Frage: hey, ich hoffe hier kann mir jemand erklären wie man über die kugelgleichung(?) (glaube über die sollte es gehn) bestimmte mengen an punkten bestimmen kann. eine aufgabe ist folgendermasen gestellt: beschreiben sie die menge aller punkte X(x1;x2;x3) für die gilt: $\begin{eqnarray} x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 9 ; x_{3} = 3 \end{eqnarray}$ oder eine andere: beschreiben sie den körper, den alle punkte P(p1;p2;p3) bilden: $\begin{eqnarray} p_{1}^{2} + p_{2}^{2} + p_{3}^{2} = 4 \end{eqnarray}$ oder: $\begin{eqnarray} p_{1}^{2} + p_{2}^{2} = 1/4 p_{3} \end{eqnarray}$ mein problem: ich kann mir unter diesen aussagen, auch wenn ich die kugelgleichung ( $\begin{eqnarray} r^2 = (x_{1} - m_{1})^2 + (x_{2}-m_{2})^2 + (x_{3}-m_{3})^2 \end{eqnarray}$ ) miteinbeziehe nichts vorstellen. ich möchte auch nicht unbedingt die lösung der oben angegeben aufgaben haben, sondern möchte ich verstehen, wie man auf die lösung so einer aufgabe ganz allgemein kommt und wie man sich das im $\begin{eqnarray} R_{3} \end{eqnarray}$ vorstellen muss. also wenn mir jemand erklären kann, wie man aufgaben dieser art lösen kann, wäre ich ihm sehr dankbar. Meine Ideen: also auch wenn ich nicht weiß, wie diese aufgaben zu lösen sind, weiß ich dass $\begin{eqnarray} x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=4 \end{eqnarray}$ eine kugel um den ursprung mit radius 2 beschreiben soll.(als ich um genauere erläuterung bat wurde mir gesagt ich soll es alein herausfinden..) fals das zur lösung des problems beitragen sollte..
25.06.2012, 19:40	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
1. zu deiner Idee: $\begin{eqnarray} x^2+y^2=r^2 \end{eqnarray}$ ist keine Kugel, sondern ein Kreis mit Radius r um den Nullpunkt 2. Damit ist das erste Beispiel schon ganz einfach zu verstehen. In der x,y-Ebene liegt ein Kreis mit Radius 3 um den Nullpunkt, in z-Richtung haben wir den festen Wert 3. Na und nun ? Wo liegt der Kreis ? 3. Das nächste Beispiel ist ganz offensichtlich eine Kugel um 0 - du kennst ja die Kugelgleichung. 4. Wenn du 1. bis 3. verstanden hast, kannst du über das 4. Beispiel nachdenken.
25.06.2012, 20:01	tobi1223	Auf diesen Beitrag antworten »
danke für deine antwort! grundlegend habe ich jetz verstanden was mit den gleichungen gemeint ist. zu 2.: also ein kreis in z richtung um 3 verschoben oder? zum 3. bsp: es ist also ein kreis um den ursprung mit dem radius 1/4p3? oder noch die wurzel davon? aber das reicht doch normal nicht wenn ich nur das als antwort hinschreibe oder? (schreib bald einen test und eine aufgabe in diese richtung wurde schon angekündigt..) und wenn man jetzt folgendes hat? $\begin{eqnarray} (x_{1}-5)^{2}+(x_{2}-6)^{2}=4 ; 0< x_{3} < 5 \end{eqnarray}$ ich vermute mal dass es dieses mal keine verschiebung in x3 richtung sein wird, sondern dass es sich um einen zylinder handelt, oder? und x1-5 eine verschiebung des mittelpunktes um 5 oder -5 (?) in x1 richtung und x2-6 eine verschiebung in x2 richtung?
26.06.2012, 18:30	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
zu 4. das ist schon etwas kniffliger. $\begin{eqnarray} x^2+y^2=\frac 1 4 \cdot z \end{eqnarray}$ ist in jeder Höhe z ein Kreis. Je größer z wird, desto größer wird der Kreis. Insgesamt ist diese Fläche ein Paraboloid. zu 5. Das neue Beispiel. Auch hier schreibe ich wie gewohnt $\begin{eqnarray} x=x_1, y=x_2, z=x_3 \end{eqnarray}$ , weil ich mir das in der x,y-Ebene und im x,y,z-Raum vorstelle. Das nennt man auch den Anschauungsraum. Du weißt schon lange was das ist, oder nicht ? Denke an die Kreisgleichung $\begin{eqnarray} x^2+y^2=r^2 \end{eqnarray}$ für den Kreis um den Nullpunkt mit Radius r. Wie der Mittelpunkt des Kreises um den Punkt $\begin{eqnarray} M=(m_x,m_y) \end{eqnarray}$ in dieser Gleichung verwendet wird, weißt du, denn du hast sogar die allgemeine Kugelgleichung. Wenn die Höhe z größer als 0 und kleiner als 5 ist, dann sind alle Kreise in dieser Höhe gemeint. (Nimm eine Rolle Klopapier, wickel das Papier ab, und staune was übrigbleibt. Genau, Kreise übereinander. Das nennt man in der Tat einen senkrechten Kreis-Zylinder, jawohl, gut gemacht.) Zusatz: Der Mittelpunkt ist $\begin{eqnarray} M_z=(5,6,z) \end{eqnarray}$ . Den konstanten Radius dieser Kreise hast du noch nicht erwähnt, den kennst du aber bestimmt auch.

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