Chebyshev

25.06.2012, 19:46	chillerStudent	Auf diesen Beitrag antworten »
Chebyshev Hallo, Ergebnisraum {0,1} und Trefferwsk p wird n-mal unabhängig wiederholt. Ergebnisraum ist also $\begin{eqnarray} \Omega:={0,1^n} \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ das Ergebnis des i-ten Wurfes und $\begin{eqnarray} M=\frac{1}{n} (X_{1}+...+X_{n} ) \end{eqnarray}$ der Mittelwert dieser Zufallsvariablen auf $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ . Ich muss nun beweisen, dass $\begin{eqnarray} P(\|M-p\|\leq \epsilon)\leq \frac{1}{4\epsilon^2n} \end{eqnarray}$ Wie rechne ich die linke Seite? Wass soll ich für n einsetzen?
29.06.2012, 19:52	Merlinius	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! Ich gehe mal davon aus, dass du Dich hier mit dem Vorzeichen verschrieben hast und es heißen muss $\begin{eqnarray} P(\|M-p\| \geq \varepsilon) \leq ... \end{eqnarray}$ Wie Du schon schreibst, geht es mit der Tschebyscheff-Ungleichung. Diese besagt $\begin{eqnarray} P(\|Y-E(Y)\|\geq \varepsilon)\leq \frac{V(Y)}{\varepsilon^2} \end{eqnarray}$ Wenn Du hier $\begin{eqnarray} Y = M \end{eqnarray}$ setzt, kommst Du direkt auf die linke Seite Deiner Gleichung, da offensichtlich $\begin{eqnarray} E[M] = p \end{eqnarray}$ ist. Dann musst Du nur noch $\begin{eqnarray} V(M) \end{eqnarray}$ ausrechnen und sehen, ob Du $\begin{eqnarray} \frac{V(Y)}{\varepsilon^2} \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} \frac{1}{4n\varepsilon^2} \end{eqnarray}$ abschätzen kannst.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »