Bereich mit Doppelintegral Berechnen und Ermittlung der Bereichsgrenzen

25.06.2012, 21:19

MarcelKlar

Bereich mit Doppelintegral Berechnen und Ermittlung der Bereichsgrenzen

Meine Frage:
Der Bereich B mit der Funktion f(x)=x² ist zu integrieren.
Die Bereichsgrenzen sind:
y=2
y=x+1
y=-x-1
Folgendes Doppelintegral ist gegeben:
$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}\int_{a}^{b}~f(x)~dy~dx \end{eqnarray*}$
Zuerst sind die Bereichsgrenzen zu ermitteln.
[attach]25072[/attach]
Ich bin mir wenig sicher, dass mein Ansatz stimmt.

Meine Ideen:
Ansatz:
Schnittpunkte sind nach dem Gleichsetzen mit y=2
S1(-3/2) und S2(1/2)
Damit ist mein Doppelintegral
$\begin{eqnarray*} \int_{-3}^{1}\int_{-x-1}^{x+1}~f(x)~dy~dx \end{eqnarray*}$
Oder
$\begin{eqnarray*} \int_{-3}^{0}\int_{-x-1}^{x+1}~f(x)~dy~dx + \int_{0}^{1}\int_{-x-1}^{x+1}~f(x)~dy~dx \end{eqnarray*}$

Ist es egal welche der beiden Varianten man nimmt oder stimmt nur die
zweite Variante oder stimmt gar keine davon?

25.06.2012, 21:59

Bernhard1

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Hallo Marcel,

der Integrationsbereich ist in diesem Fall ein Dreieck, dessen Spitze nach unten zeigt. Die Basis des Dreiecks ist oben.

Diesen Integrationsbereich darf man gedanklich in senkrechte Streifen mit der Breite dx zerlegen. Zusammengesetzt sollen diese Streifen die gesamte Fläche des Integrationsbereiches (Dreieck) überdecken. Diese Streifen haben dann in der y-Richtung einen gewissen Startwert und einen gewissen Endpunkt (y=2). Du musst Dir also zuerst überlegen, wo der Sreifen anfängt (die Lösung kennst Du eigentlich schon). Das ist dann die untere Grenze der y-Integration. Die obere Grenze ist, wie gesagt, y=2. Beachte dabei auch, dass man bei der unteren Grenze bei x=-1 "aufpassen" muss.

25.06.2012, 22:05

MarcelKlar

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Etwa so?
$\begin{eqnarray*} \int_{x=-3}^{-1}\int_{y=-x-1}^{2}~f(x)~dy~dx + \int_{x=-1}^{1}\int_{y=x+1}^{2}~f(x)~dy~dx \end{eqnarray*}$

25.06.2012, 22:13

Bernhard1

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RE: Etwa so?
Yep, das gefällt mir schon ganz gut Augenzwinkern

...

25.06.2012, 22:15

MarcelKlar

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RE: Etwa so?
Wie falsch wäre mein Ansatz gewesen? Ganz oder teilweise?
Kann das nicht so beurteilen.
Und wie ist es wenn man als "Basis" keine Gerade wie y=2 hat?

25.06.2012, 22:18

Bernhard1

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RE: Etwa so?

Zitat:

Original von MarcelKlar
Wie falsch wäre mein Ansatz gewesen? Ganz oder teilweise?

Wenn ich mal ehrlich sein darf eher ziemlich falsch.

Zitat:

Und wie ist es wenn man als "Basis" keine Gerade wie y=2 hat?

Dann ist die obere Grenze der y-Integration keine Konstante mehr, sondern eine Funktion von x.