Wo liegen die Spitzen einer Pyramide mit dem Volumen 4 VE?

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Mi Ra Auf diesen Beitrag antworten »
Wo liegen die Spitzen einer Pyramide mit dem Volumen 4 VE?
Meine Frage:
Gegeben sind in einem Joordinatensytem die Punkte A(2/2/-1), B(3/3/1), C(5/6/2) und D(4/5/0) sowie die Gerade g durch die Gleichung: =s*
a) Zeigen Sie, dass die Punkte A,B,C und D in einer Ebene liegen und berechnen Sie das Volumen der Pyramide ABCD0 (0 sei der Ursprung des Koordinatensystems).
b) Zeigen Sie, dass das Volumen sich nicht ändert, wenn man die Spitzen der Pyramide auf der Geraden g wandern lässt.
c) Wo liegen die Spitzen S alles Pyramiden ABCDS, die ein Volumen von 4 VE besitzen?

Meine Ideen:
Also Aufgabe a) (Lösung Volumen: 5/3 VE) und b) sind schon gelöst. Bei Aufgabe c) habe ich so meine Schwierirgkeiten.
Meine Überlegungen: Also in Aufgabe b) hat man die Spitze ja auf einer Geraden verschoben, die parallel zur Ebene verläuft und somit der Abstand gleich bleibt, sodass sich das Volumen nicht ändert. Aufgabe c) fragt nach eine allgemeineren Form. Das Volumen ist gegeben und das Kreuzprodukt zu Volumenberechnung ist ebenfalls aus den vorherigen Aufgaben bekannt, nur die Höhe ändert sich von AO zu AS. S liegt auf eine Ebene mit dem Anstand h zur Grundfläche. Wenn ich s als Vektor schreibe und dann die Differenz bilde zwischen A und S und das dann in die Formel zu r Volumenberechnung einsetzte, dann habe ich 3 Variablen und eine Gleichung ...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mi Ra
S liegt auf eine Ebene mit dem Anstand h zur Grundfläche.

Mit anderen Worten: Diese Ebene ist parallel zur Ebene durch ABCD, und damit lässt sich aus deren HNF die HNF der gesuchten Ebene aufstellen, sofern man auch berechnet hat.


P.S.: Genau genommen sind es übrigens zwei solche Ebenen (+-h).
Mi Ra Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wo liegen die Spitzen einer Pyramide mit dem Volumen 4 VE?
Okay, d.h. ich kann einfach die Höhe mit h= V/G berechnen, indem ich 4/ rechne, weil ja dem Kreuzprodukt von AB x AD entspricht. Dann erhält man das Ergebnis 4/5 . Wenn ich das dann in die HNF einsetzte erhalte ich:
- 4/5 =0. Ist damit die Ebene aufgestellt? Oder muss ich das Kreuzprodukt ebenfalls durch 4/5 teilen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wo liegen die Spitzen einer Pyramide mit dem Volumen 4 VE?
Zitat:
Original von Mi Ra
weil ja dem Kreuzprodukt von AB x AD entspricht.

Da hab ich aber was anderes raus. Entweder hast du dich verrechnet oder aber bei

A(2/2/-1), B(3/3/1), C(5/6/2) und D(4/5/0)

irgendwo verschrieben. verwirrt
Mi Ra Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wo liegen die Spitzen einer Pyramide mit dem Volumen 4 VE?
Punkte stimmten, dann habe ich mich verrechnet: ist richtig? Ist die Vorgehensweise denn so zielführend?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Der Vektor (Normalvektor der Ebene) stimmt jetzt.
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Bedenke aber, dass du als Basisfläche der Pyramide die Fläche des Viereckes ABCD zu berechnen hast (AB, AD allein genügen dann nicht, soferne das Viereck kein Parallelogramm ist. Was wäre dann mit dem Punkt C?). Das Viereck setzt sich ja aus 2 Teildreiecken zusammen.
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Wenn das Viereck ein Parallelogramm ist (was du zunächst sicherstellen musst), dann genügt für die Flächenberechnung der Betrag des Vektorproduktes AB x AD.

Berechne also jetzt die Basisfläche und stelle den Zusammenhang mit der Höhe h und dem Volumen V = 4 VE her; das hast du uns noch nicht gezeigt. Was ist der geometrische Ort der Lage aller in Frage kommenden Spitzen?

mY+
 
 
Mi Ra Auf diesen Beitrag antworten »

Also bei mir ist das Volumen immer das gleiche. Ich dachte die Ebene wäre + 4/ =0 ... damit ist doch die Beziehung zur Höhe und zum Flächeninhalt hergestellt oder?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das ist sie noch nicht.
Ausserdem stimmt die Ebenengleichung (der Basis) nicht. Richtig ist jetzt lediglich deren Normalvektor.

Und dann stellt sich wieder die Frage, die du noch immer nicht beantwortet hast - WO denn alle in Frage kommenden Spitzen liegen müssen.

mY+
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