Summe von k=1...n cos(kx) mittels Induktion

26.06.2012, 11:10

stuwi

Summe von k=1...n cos(kx) mittels Induktion

Meine Frage:
Ich möchte die Formel

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \cos(kx)= \frac{\sin(\frac{nx}{2})*\cos(\frac{(n+1)x}{2} ) }{\sin(\frac{x}{2} ) } \end{eqnarray*}$

induktiv beweisen...

Meine Ideen:
Ich habe Anfang und Vorraussetzung, das ist easy.
Außerdem habe ich mir aus der Formelsammlung alle möglichen Formeln zu den trigonometrischen Formeln herausgesucht incl Additionstheoreme usw.

Nun habe ich bereits den ersten induktiven Schritt gemacht, indem ich die Formel aus der Vorraussetzung ersetzt habe.
Außerdem weiß ich, wie das Ding am Ende aussehen soll, also habe ich aus beiden Richtungen schon versucht, Überschneidungen zu finden, doch ich komme nicht auf den richtigen Ast unglücklich

Nach ca. 10 Seiten Rechnungen finde ich keine Lösung. HILFE!!

26.06.2012, 11:26

HAL 9000

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Mal davon abgesehen, dass ich es eher über $\begin{eqnarray*} \operatorname{Re}\left( \sum_{k=1}^n e^{ikx} \right) \end{eqnarray*}$ abwickeln würde:

Du muss im Induktionsschritt $\begin{eqnarray*} n-1\to n \end{eqnarray*}$ die Identität

$\begin{eqnarray*} \sin\left(\frac{(n-1)x}{2}\right)\cos\left(\frac{nx}{2}\right) + \cos(nx)\sin\left(\frac{x}{2}\right) = \sin\left(\frac{nx}{2}\right)\cos\left(\frac{(n+1)x}{2}\right) \end{eqnarray*}$

zeigen, was an sich so schwierig nicht ist, wenn man die beiden äußeren Terme per Additionstheorem

$\begin{eqnarray*} \sin\left(\frac{(n-1)x}{2}\right) = \sin\left(\frac{nx}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{nx}{2}\right)\sin\left(\frac{x}{2}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cos\left(\frac{(n+1)x}{2}\right) = \cos\left(\frac{nx}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)-\sin\left(\frac{nx}{2}\right)\sin\left(\frac{x}{2}\right) \end{eqnarray*}$

ersetzt...

26.06.2012, 11:53

stuwi

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mhhhh... besten dank!!!

ich war zu sehr auf dem induktionsholzweg von n->n+1...

für deine, natürlich echt einfache, variante fehlte mir der weitblick... unglücklich

VIELEN DANK!

26.06.2012, 11:54

HAL 9000

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Zitat:

Original von stuwi
ich war zu sehr auf dem induktionsholzweg von n->n+1...

Der geht ebenso, ist nur mit etwas mehr Schreibarbeit in den sin() und cos()-Ausdrücken verbunden.

26.06.2012, 14:17

Mystic

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Nur als kleine Anmerkung: Ein Induktionsbeweis ist für mich immer das absolut Letzte (im wörtlichen, wie auch im übertragenen Sinn! Big Laugh

), da er in der Regel überhaupt keine neuen Einsichten liefert, außer eben, dass die Behauptung stimmt... Der "angemessene" Beweis läuft, wie schon von HAL erwähnt, über die komplexen Zahlen und zeigt insbesondere auf, das es sich hierbei eigentlich um eine "verkappte" geometrische Reihe handelt... Aber selbst die hier von ihm angegebene und verwendete Identität

$\begin{eqnarray*} \cos(kx)\sin\left(\frac{x}{2}\right) = \sin\left(\frac{kx}{2}\right)\cos\left(\frac{(k+1)x}{2}\right)-\sin\left(\frac{(k-1)x}{2}\right)\cos\left(\frac{kx}{2}\right) \end{eqnarray*}$

läßt sich viel besser einsetzen, indem man einfach beidseitig die Summation von k=1 bis n vornimmt und auf der rechten Seite den Teleskoptrick anwendet... Just my two cents... Augenzwinkern

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