Abstände im Minkowskiraum

26.06.2012, 16:05

belanna

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Abstände im Minkowskiraum

Hallo,

eigentlich ist das Problem simpel und relativ leicht formuliert, aber ich stelle mich irgendwie ungeschickt an Hammer

Hammer

Ich habe vier Punkte im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{1+3} \end{eqnarray*}$ , wobei die Abstände $\begin{eqnarray*} x_{12} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_{23} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{34} \end{eqnarray*}$ lichtartig sind.

Wenn ich nun annehme, dass $\begin{eqnarray*} x_{13} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{24} \end{eqnarray*}$ beispielsweise raumartig sind, ist es dann möglich, dass $\begin{eqnarray*} x_{14} \end{eqnarray*}$ zeitartig ist oder ist der Abstand immer ebenfalls raumartig?

Anbei nochmal ein Bild und vielen Dank
Christian

29.06.2012, 00:39

belanna

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also sollte ich mich nicht verrechnet haben, komme ich auf

$\begin{eqnarray*} x_{14}^{2} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} x_{12}\cdot x_{23} + x_{23}\cdot x_{34} + x_{12}\cdot x_{34} \end{eqnarray*}$

kann das jemand bestätigen?

29.06.2012, 07:25

Bernhard1

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Hallo belanna,

Du hast wegen der Symmetrie des Minkowski-Produktes rechts einen Faktor 2 vergessen.

Im ersten Beitrag hast Du vermutlich übersehen, dass die Addition zweier lichtartiger Vektoren (wegen der schwarzschen Ungleichung) immer zeitartig oder ebenfalls lichtartig ist.

29.06.2012, 10:19

belanna

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Naja, raumartige Abstände müssten doch auch möglich sein, wenn ich einfach eines der Vorzeichen der Zeitkomponenten invertiere?

Das ganze dient der Klassifikation von Sechsecken mit lichtartigen Seiten im Minkowskiraum... und da bilden zwei lichtartige Seiten sowohl raumartige, als auch zeitartige Abstände.

Für die Klassifikation wäre nun jedoch noch die Beantwortung meiner Eingansfrage hilfreich ^^

29.06.2012, 22:53

Bernhard1

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Zitat:

Original von belanna
und da bilden zwei lichtartige Seiten sowohl raumartige, als auch zeitartige Abstände.

Dann handelt es sich scheinbar um keine Addition von Vektoren.

Zitat:

Für die Klassifikation wäre nun jedoch noch die Beantwortung meiner Eingansfrage hilfreich ^^

Vielleicht hilft ja die Aussage, dass die Addition von lichtartigen Vektoren immer zu lichtartigen oder zeitartigen Vektoren führt. Insofern ein Ja bezüglich der Frage

Zitat:

ist es dann möglich, dass $\begin{eqnarray*} x_{14} \end{eqnarray*}$ zeitartig ist

30.06.2012, 07:55

belanna

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Zitat:

Original von Telefonmann1
Dann handelt es sich scheinbar um keine Addition von Vektoren.

Es handelt sich um ein geschlossenes Polygon mit sechs Eckpunkten im Minkowskiraum. Also um reine Addition (und Subtraktion)...

und die Abstände $\begin{eqnarray*} x_{ii+2}^{2} \end{eqnarray*}$ können sowohl raum- als auch zeitartig sein.

Ich kann auch gerne konkrete Beispiele geben, wenn das bezweifelt wird ^^

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30.06.2012, 08:14

Bernhard1

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Zitat:

Original von belanna
und die Abstände $\begin{eqnarray*} x_{ii+2}^{2} \end{eqnarray*}$ können sowohl raum- als auch zeitartig sein.

Vermutlich liegt hier das Missverständnis. Die Vorzeichen der einzelnen Komponenten $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ eines vierdimensionalen Vektors bestimmen nicht die Art des Vektors. Ob ein solcher Vektor raum-, licht- oder zeitartig ist bestimmt die Norm, also

$\begin{eqnarray*} n:= v_0^2-v_1^2-v_2^2-v_3^2 \end{eqnarray*}$ . Die Metrik hat dabei die Signatur (1,-1,-1,-1). Die nullte Koordinate bezeichnet die Zeit, bzw. ct.

Falls n=0 ist der Vektor lichtartig
Falls n<0 ist der Vektor raumartig
Falls n>0 ist der Vektor zeitartig

Dummerweise gibt es da auch noch andere Konventionen bei der Bezeichnung der Koordinaten und bei der Signatur der Metrik. Dann drehen sich sämtliche Vorzeichen um. Welche Konventionen verwendest Du momentan?

30.06.2012, 12:38

belanna

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Wenn ich $\begin{eqnarray*} x_{ii+2}^{2} \end{eqnarray*}$ schreibe, ist das doch genau deine Definition von n... ^^

Metrik auch bei mir (+ - - - )

$\begin{eqnarray*} x_{13}^{2}=(x_{1}-x_{3})^{2}=(x_{1}^{0}-x_{3}^{0})^{2}-(x_{1}^{1}-x_{3}^{1})^{2}-(x_{1}^{2}-x_{3}^{2})^{2}-(x_{1}^{3}-x_{3}^{3})^{2} \end{eqnarray*}$

30.06.2012, 13:35

Bernhard1

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Zitat:

Original von belanna
Wenn ich $\begin{eqnarray*} x_{ii+2}^{2} \end{eqnarray*}$ schreibe, ist das doch genau deine Definition von n... ^^

Ich kenne diese Schreibweise nicht. Stammt die aus einem Buch?

Doch zurück zur gestellten Frage:

Wenn die Punkte 1-4 also echte Raumzeitpunkte sind, startet vom Punkt 1 ein Lichtsignal in Richtung Punkt 2. Dann wird das Signal dort in Richtung von Punkt 3 weitergeleitet usw. Richtig?

30.06.2012, 13:59

belanna

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Die stammt aus einigen papern, auf denen mein Problem basiert.. ich fand sie auch recht intuitiv, deswegen habe ich sie einfach übernommen.

Ja ... also es sind Viererimpulse von streuenden, masselosen Teilchen, aber prinzipiell richtig, ja

30.06.2012, 14:34

Bernhard1

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Zitat:

Original von belanna
Ja ... also es sind Viererimpulse von streuenden, masselosen Teilchen, aber prinzipiell richtig, ja

OK.

Können wir trotzdem mal ein konkretes Beispiel für die eingangs gestellte Frage anschauen? Falls ja, hätte ich gerne zwei konkrete Beispiele für den Vierervektor von Punkt 1 nach Punkt 2, sowie von Punkt 2 nach Punkt 3. Ich denke an einem konkreten Beispiel sieht man dann besser um was es eigentlich geht.

30.06.2012, 14:39

belanna

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ein Beispiel wäre hier:

http://de.arxiv.org/pdf/1111.6815

Seite 16/17

Wie man sieht ist in Abb. 4 z.b. der Abstand 24 raumartig und 35 zeitartig.

30.06.2012, 15:13

Bernhard1

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Das wird ein bisschen dauern. Weiß nicht, ob ich da heute noch zu verwertbaren Ergebnissen komme. Frühestens heute abend. Ist aber interessant Freude

Freude

.
Bis später...

30.06.2012, 21:16

Bernhard1

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Zitat:

Original von belanna
Wenn ich $\begin{eqnarray*} x_{ii+2}^{2} \end{eqnarray*}$ schreibe, ist das doch genau deine Definition von n... ^^

Abschnitt 2.1 von hier: http://de.arxiv.org/abs/1003.1702 zeigt die Bedeutung:

$\begin{eqnarray*} x_{ii+2}^{2} = (x_i - x_{i+2})^2 \end{eqnarray*}$

30.06.2012, 21:25

Bernhard1

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Zitat:

Original von belanna
Wie man sieht ist in Abb. 4 z.b. der Abstand 24 raumartig und 35 zeitartig.

Dass 24 raumartig ist, ist klar. Bei 35 kannst Du den genauen Beweis gerne anschreiben und zwar am besten gleich mit einer Erklärung, was b und $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ eigentlich ist. Ich sehe das nämlich nicht unmittelbar ein verwirrt

verwirrt

.

BTW: Der Abstand 24 zeigt auch, dass hier nicht einfach Vierervektoren zeitgeordnet aufaddiert werden, weil die 0te-Komponente der beiden Vektoren gleich groß ist. Es werden bei so einem Wilson-Loop also entweder Signale in die Vergangenheit gesendet oder es wird unterwegs die Richtung geändert verwirrt

verwirrt

.

Komme mir momentan mal wieder richtig dumm vor unglücklich

unglücklich

.

30.06.2012, 23:38

belanna

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Ich nehme einfach mal ein neues Beispiel, weil das Erklären etwas aufwändig wäre:

http://arxiv.org/pdf/0911.4708v3.pdf

S. 29 Formel (3.11)

die ersten zwei Koordinaten im Vektor sind Lichtkegelkoordinaten $\begin{eqnarray*} x_{\pm}=x_{0} \pm x_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Lambda \end{eqnarray*}$ geht gegen unendlich. p und q sind beliebige Vektoren in den verbleibenden 2 Raumdimensionen.

und natürlich $\begin{eqnarray*} x_{+} \cdot x_{-} = x_{0}^{2}-x_{1}^{2} \end{eqnarray*}$

Wenn man sich die Punkte dann im Penrose-Diagramm aufmalt kann man ganz einfach graphisch ablesen, was raumartig (r) und zeitartig (z) ist:

13 r
24 r
35 r
46 z
51 r
62 z

14 r
25 r
36 z

01.07.2012, 08:32

Bernhard1

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Zitat:

Original von belanna
und $\begin{eqnarray*} \Lambda \end{eqnarray*}$ geht gegen unendlich

Was aber dazu führt, dass die Addition von zwei lichtartigen Vektoren überhaupt erst raumartig werden kann!

01.07.2012, 15:02

belanna

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Nein, nicht wirklich ... eigentlich ist das Beispiel oben nur eine mögliche Standardkonfiguration von Sechsecken. Mit Hilfe einer speziellen konformen Transformation + Translation + Dillatation + Lorentz + Rotation kriege ich (sehr viele) Sechsecke auf diese Punkte transformiert.

Da die Art des Abstandes (raum- / zeitartig) konform invariant ist, muss der Abstand auch schon vorher raum- oder zeitartig gewesen sein.

PS: und zwei lichtartige Vektoren können leicht einen raumartigen Abstand bilden, wenn der zweite Vektor in negativer Zeitrichtung verläuft (also eine negative 0-Komponente hat).

Im obigen Formalismus heißt negative Zeitrichtung im Übrigen negative Energie, da die Vektoren Viererimpulse von masselosen Teilchen sind.

01.07.2012, 15:22

Bernhard1

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Zitat:

Original von belanna
Im obigen Formalismus heißt negative Zeitrichtung im Übrigen negative Energie, da die Vektoren Viererimpulse von masselosen Teilchen sind.

So gesehen hängt die eingangs gestellte Frage davon ab, welchen Linien des Polygons Teilchen mit positiver Energie und welchen Linien Teilchen mit negativer Energie zugeordnet werden. Gibt es da einschränkende Regeln bei der Zuordnung oder ist das beliebig?

01.07.2012, 15:42

belanna

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naja ... prinzipiell sind nur Streuereignisse

2 -> 4 (2x pos. 4x neg.)
3 -> 3 (3x pos. 3x neg.)
4 -> 2 (...)

möglich.... das dürfte sich aber mit den geometrischen Einschränkungen für ein Sechseck decken.

und man müsste das Eingangproblem ja auch allgemein lösen können... es geht ja letztendlich nur darum, das Abstandsquadrat 14 auszurechnen (ohne sich zu verrechnen) und die Einschränkungen auszunutzen. ^^

01.07.2012, 16:53

Bernhard1

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Hallo Christian,

ich denke, ich habe ein Beispiel für $\begin{eqnarray*} x_{14}^2 > 0 \end{eqnarray*}$ gefunden:

$\begin{eqnarray*} \vec{x}_{12} = (\sqrt{2}, 1, 1, 0)^T \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{x}_{23} = (-a, a, 0, 0)^T \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{x}_{34} = (\sqrt{2}, 1, -1, 0)^T \end{eqnarray*}$

Es gilt also:

$\begin{eqnarray*} x_{14}^2 = (2\sqrt{2}-a)^2-(2+a)^2 \end{eqnarray*}$

Für ein hinreichend kleines a gilt:

$\begin{eqnarray*} 2\sqrt{2}-a > 2+a \end{eqnarray*}$

und damit $\begin{eqnarray*} x_{14}^2>0 \end{eqnarray*}$

EDIT: Für a>0 gilt auch die Voraussetzung $\begin{eqnarray*} x_{13}^2<0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{24}^2<0 \end{eqnarray*}$ .

01.07.2012, 17:51

belanna

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Zitat:

Original von Telefonmann1
Hallo Christian,

ich denke, ich habe ein Beispiel für $\begin{eqnarray*} x_{14}^2 > 0 \end{eqnarray*}$ gefunden:

$\begin{eqnarray*} \vec{x}_{12} = (\sqrt{2}, 1, 1, 0)^T \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{x}_{23} = (-a, a, 0, 0)^T \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{x}_{34} = (\sqrt{2}, 1, -1, 0)^T \end{eqnarray*}$

Es gilt also:

$\begin{eqnarray*} x_{14}^2 = (2\sqrt{2}-a)^2-(2+a)^2 \end{eqnarray*}$

Für ein hinreichend kleines a gilt:

$\begin{eqnarray*} 2\sqrt{2}-a > 2+a \end{eqnarray*}$

und damit $\begin{eqnarray*} x_{14}^2>0 \end{eqnarray*}$

EDIT: Für a>0 gilt auch die Voraussetzung $\begin{eqnarray*} x_{13}^2<0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{24}^2<0 \end{eqnarray*}$ .

Nicht ganz ...

$\begin{eqnarray*} x_{13}^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{14}^2 \end{eqnarray*}$ wechseln ihr Vorzeichen bei $\begin{eqnarray*} a=sqrt(2)-1 \end{eqnarray*}$ also sind beide für jedes a raum- bzw. zeitartig und nicht jeweils verschieden.

01.07.2012, 18:40

Bernhard1

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Zitat:

Original von belanna
Nicht ganz ...

Es gilt doch:

$\begin{eqnarray*} x_{13}^2 = (\sqrt{2}-a)^2-(1+a)^2-1^2=-2a(1+\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$

und das ist für a>0 kleiner Null.

01.07.2012, 18:51

belanna

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oh, pardon... ja richtig smile

smile

Dann muss ich mir wohl was anderes einfallen lassen Big Laugh

Big Laugh

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