Vektormultiplikation Transponiert

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Elian Auf diesen Beitrag antworten »
Vektormultiplikation Transponiert
Hallo,

wie ist das denn mit der Vektormultiplikation wenn mehrere Zeilen und Spaltenvektoren involviert sind.

Gilt z.B.



Ich habe das Gefühl, irgendwas stimmt da nicht. Zumindestens gibt es etwas zu beachten, wie etwa wenn eine Variable im Nenner steht, da muss man ja auch f(0) ausschließen.

DIese Art der Umformung wurde in einer Übung angewendet. Es wurden nie Werte eingesetzt, da durch die Umformung am Ende in der Klammer 0 herauskam und somit der gesamte Ausdruck 0 wurde. In der Übung bleib lediglich die Einheitsmatrix übrig, was der Beweis ist, dass anfangs gegebene Matrizen invers zueinander sind.
Damit ist die Aufgabe zwar gelöst, aber zufrieden bin ich nicht wegen anfangs gestellter Fragen.
DP1996 Auf diesen Beitrag antworten »

Die ersten beiden Umformungen sind völlig unproblematisch. Bei der dritten stellt sich mir die Frage: SInd v und w Zeilen oder Spaltenvektoren? Je nachdem ist nämlcih Skalar oder Matrix, und im letzteren Fall sehe ich gerade nicht, wie man die letzte Umformung gescheit begründen könnte.
Elian Auf diesen Beitrag antworten »



Die letzte Umformung dient dazu, das aus insgesamt drei Summen auszuklammern.
Was in der Klammer verbleibt ergibt dann offensichtlich 0 da z.B. zurückbleibt.
Daher muss ich erstmal annehmen, dass dies mathematisch korrekt ist, was im ersten Post steht. Ich bezweifle aber, dass man das so stehen lassen kann.

Die gesamten Umstellungen dienen ja nur zum Beweis, dass
Wir haben also links die Inverse einer Matrix stehen und rechts eine Matrix. Wenn die Gleichung aufgeht, können wir sagen, dass die Inverse zu der Matrix auf der rechten seite ist.
DP1996 Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, dann sind die Vektoren normalerweise Spaltenvektoren, und dieses ist ein Skalar (das entspriecht ja dann bekannterweise dem Standard-Skalarprodukt). Und dann ist auch diese Umformung zulässig.

Besagter Beweis müsste sich dadurch führen lassen (edit2: lässt sich dadurch führen), dass man das Produkt der beiden Matrizen berechnet.
Elian Auf diesen Beitrag antworten »

Matrizen können invers zueinander sein. Welche die Inverse ist, bleibt Definitionssache.
Wenn AB=Einheitsmatrix dann gilt A Inverse von B wie auch B Inverse von A da AB=Einheitsmatrix=BA.

Die letzte Gleichung besagt nur, wenn man eine Matrix der Form linke Seite hat, hat ihre Inverse die Form der rechten Seite v.v.

Das mit den Spalten- und Zeilenvektoren muss ich mir nochmal ansehen,
vielen Dank
DP1996 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Welche die Inverse ist, bleibt Definitionssache.
Wenn AB=Einheitsmatrix dann gilt A Inverse von B wie auch B Inverse von A da AB=Einheitsmatrix=BA.


Habe ich irgendwo etwas anderes behauptet? Was ich gesagt habe war doch nur, dass man berechnet. Wenn dabei rauskommt, sind die beiden Matrizen invers zueinander.

Zitat:
Das mit den Spalten- und Zeilenvektoren muss ich mir nochmal ansehen,
vielen Dank

Am schnellsten dürfte es dir klar werden, wenn du mal zwei konkrete Vektoren v und w wählst und einmal und einmal berechnest.

Gern geschehen! smile
 
 
Elian Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DP1996
[...]

Habe ich irgendwo etwas anderes behauptet? Was ich gesagt habe war doch nur, dass man berechnet. Wenn dabei rauskommt, sind die beiden Matrizen invers zueinander.

Zitat:
Das mit den Spalten- und Zeilenvektoren muss ich mir nochmal ansehen,
vielen Dank

Am schnellsten dürfte es dir klar werden, wenn du mal zwei konkrete Vektoren v und w wählst und einmal und einmal berechnest.

Gern geschehen! smile


War ja nicht als Widerspruch gemeint. Habe ja nicht negiert was du sagtest, wollte es nur nochmal mit anderen Worten sagen. Abstrahiert gesprochen, wir betrachten den Sachverhalt von mehreren Seiten. Tanzen

Hab mal deinen Vorschlag probiert aber ohne Werte, nur mit Variablen.
Es kommt immer am Ende eine Matrix heraus.
Man muss schon nach dem Kommutativgesetz surfen, um auf Wikipedia den Hinweis zu finden, dass Skalarmutliplikation kommutativ ist. Hammer
Elian Auf diesen Beitrag antworten »

Ja wenn wir schonmal dabei sind:

Gilt ?
Wenn ja, bitte Stichwort nennen.
Wenn nein, ... benötige Hilfestellung.
DP1996 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Hab mal deinen Vorschlag probiert aber ohne Werte, nur mit Variablen.
Es kommt immer am Ende eine Matrix heraus.


Stimmt zwar, aber eine 1*1-Matrix kann man auch gleich als Skalar schreiben.

Beispiel: Sei . Dann ist , aber

Zitat:
Man muss schon nach dem Kommutativgesetz surfen, um auf Wikipedia den Hinweis zu finden, dass Skalarmutliplikation kommutativ ist


Ist sie auch nicht immer, deshalb habe ich von der Stadardskalarprodukt gesprochen. Skalarprodukte sollte man übrigens von der skalaren Multiplikation strikt unterscheiden, das sind zwei verschiedene Paar Schuhe.

Zum anderen Beitrag:

Die erste Implikation gilt nicht, Gegenbeispiel ist

Die zweite Implikation ist aber korrekt.

Zitat:
Wenn nein, ... benötige Hilfestellung.

Wobei?
Elian Auf diesen Beitrag antworten »

Ok,bei dem Kommutativgesetz für einzeilige und einspaltige Vektoren ist vorsicht geboten.

Zu der neuen Frage.
Im Aufgabenteil b) heißt es:
(*)
Desweiteren:

Betrachte die Matrix:

Jetzt heißt es: Leiten Sie mit Hilfe von (*) folgende Gleichung her, und begründe dass B invertierbar:


In der Übung erklärte man folgende Formel, die ich nicht nachvollziehen kann:


In der Aufgabenstellung ist desweiteren noch gegeben:#

Wurde womöglich einfach gleichgesetzt mit der zweiten Formel in diesem Post?:




Geht das denn überhaupt, oder ist es nur Zufall wie ich es hergeleitet habe, und das aus der Übung wurde anders hergeleitet als oben beschrieben?
Den Rest der Aufgabe denke ich selber nachvollziehen zu können, es hakt nur an dieser Stelle und ich bin ja auch dankbar, dass die Ü-Gruppenleiter einem nicht den kompletten Lösungsweg aufdröseln, sondern eine Schnitzeljagd veranstalten.
Es macht spaß, so lange man auch wirklich mitmacht und nicht, sei es aus Faulheit oder anderer Probleme, alleine und orientierungslos im Wald zurückbleibt.
DP1996 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich das so sagen darf: Das, was du gepostet hast, erscheint mir etwas wirr, aber ich versuch mal, so weit wie möglich zu verstehen, was gemeint ist. Wenn du das Gefühl hast, ich interpretiere etwas falsch, dann stell doch bitte gleich den Original-Aufgabentext hoch.

Zitat:
Original von Elian
Zu der neuen Frage.
Im Aufgabenteil b) heißt es:
(*)
Desweiteren:


Ich nehme mal an, beides ist zu zeigen für , oder? Und du darfst das hier als Voraussetzung anwenden?
Zitat:



Als Tipp: Die Matrix-Gleichung hat genau dann eine eindeutige Lösung, wenn A invertierbar ist, das erklärt dann auch die Formel aus deiner Übung.

Zitat:
Original von Elian
Es macht spaß, so lange man auch wirklich mitmacht und nicht, sei es aus Faulheit oder anderer Probleme, alleine und orientierungslos im Wald zurückbleibt.


Da stimmte ich dir zu.

edit: Die Folgende Schlussfolgerung ist für sich alleine unzulässig, du kannst allgemein nicht folgern, dass wegen gilt, dass x=y ist (Gegenbeispiele gibt's ja zur Genüge). Mit meinem Tipp oben funktioniert das aber noch einfacher.

Zitat:

Elian Auf diesen Beitrag antworten »

Folgendes ist der Text bis zu dem gegebenen AUfgabenteil.
(a) Haben wir ja schon in den vorherigen Posts geklärt.
Danke.

Es seien zwei Vektoren mit
.
(a) Zeige, dass Matrix die Inverse

besitzt, wobei die Einheitsmatrix bezeichnet.

Für die Determinante gilt
(*)
Nun seien eine invertierbare Matrix und zwei Vektoren, für die

gilt. Betrachte die Matrix
.

(b) Leite mit Hilfe von (*) die Gleichung

her und begründe, dass B invertierbar ist.
Elian Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DP1996
[...]

edit: Die Folgende Schlussfolgerung ist für sich alleine unzulässig, du kannst allgemein nicht folgern, dass wegen gilt, dass x=y ist (Gegenbeispiele gibt's ja zur Genüge). Mit meinem Tipp oben funktioniert das aber noch einfacher.

Zitat:



Ja, das verstehe ich. Aber man könnte das ja auch so verstehen, dass beide Ungleichungen die Lösung 1 ausschließen, als Bedingung. Ich nehme an, es wurde von dem Autor deswegen als Bedingung gewählt, weil die Matrix sonst eine Eigenschaft erhält, die bei weiteren Rechnungen zu keinem Ergebnis oder in den undefinierten Bereich der Mathematik führt, wie etwa Division durch null etc.

Man kann also sagen, die Ergebnisse dürfen nicht -1 sein, aber sehr wohl zum Beispiel 1 (oder eine beliebige andere Zahl aus ).
Daher wird aus den Ungleichungen eine Gleichung, die besagt, es gibt ein und .
Desweiteren enthalten beide Ungleichungen das Element , nach dem beide Gleichungen umgeformt und gleichgesetzt werden können.
Hier merke ich gerade wieder Wissenslücken. Ich weiss, dass man Bei Gleichungen mit Matrizen die Matrix auf die andere Seite der Gleichung bringen kann, indem man ihre Inverse auf die andere Seite bringt.
Seien folgend A und B Matrizen






Jetzt gibt es für Vektoren keine Inverse (kenne keine) und auch die Division von Vektoren ergibt keinen Sinn.
Aber man kann das dennoch einfach umstellen und anschließend damit rechnen oder einen Vorlesungssaal voller belämmerter Studenten beeindrucken.




Dann folgt aus:
=


Jetzt haben wir ganz stumpf im "Graubereich" der Mathematik bekannte Operationen der Umformung ausgeführt, ohne dass uns ein Sinn der Zwischenschritte erschliesst. Das Ergebnis sagt mir zwar genauso wenig, aber im Allgemeinen erhält man beim Gleichsetzen zweier Gleichungen einen Schnittpunkt.
DP1996 Auf diesen Beitrag antworten »

Du verrennst dich da in Dinge, die du so gar nicht brauchst, deshalb führe ich jetzt mal meinen Tipp vom letzten Beitrag nochmal etwas genauer aus:

Wenn du eine Matrizen- und Vektorgleichung der Form hast (b ist gesucht), mit der "Koeffizientenmatrix" und b und c Spaltenvektoren der Größe n sind (also aus dem ), dann ist dieses Gleichungssystem eindeutig lösbar dann und nur dann, wenn A invertierbar ist, und die Lösung ist dann gegeben durch . (Das erreicht man einfach dadurch, dass man die Ausgangslgleichung linksseitig mit multipliziert).

Und jetzt betrachte mal das Gleichungssystem Und substituiere mal w in der Gleichung (*).

Wenn du das hast, lässt sich schon fast erahnen, wie es wohl weitergeht.
Elian Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DP1996
Du verrennst dich da in Dinge, die du so gar nicht brauchst, deshalb führe ich jetzt mal meinen Tipp vom letzten Beitrag nochmal etwas genauer aus:

Und jetzt betrachte mal das Gleichungssystem Und substituiere mal w in der Gleichung (*).


Was du sagst bedeutet für mich, dass diese Art der Umformung aus meinem vorherigen Post nicht falsch ist, aber überflüssig.

Zu dem letzten Satz.
Das ist ja mein Problem, ich weiß nicht, wie ich von den gegebenen Gleichungen und Formeln in logischen Schritten zu komme. Mir fehlt einfach das Bindeglied, ein Zwischenschritt.

Dass die Inverse der Kehrwert ist, hat sich mittlerweile bei mir festgesetzt. Daher auch die Umformung die du mit benannt hast.
DP1996 Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich verlange ich doch blos von dir, dass du w durch ersetzt, d.h. aus wird . (Und insebsondere ist das für jedes w in (*) möglich, das besagt dieser Satz, den ich dir genannt habe.

Jetzt schau dir mal an, dass du jetzt irgendwas machen musst, um auf die Form
zu kommen. Was?
Elian Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DP1996
Eigentlich verlange ich doch blos von dir, dass du w durch ersetzt, d.h. aus wird . (Und insebsondere ist das für jedes w in (*) möglich, das besagt dieser Satz, den ich dir genannt habe.

Jetzt schau dir mal an, dass du jetzt irgendwas machen musst, um auf die Form
zu kommen. Was?


Den letzten Teil habe ich verstanden, es wird auf beiden Seiten mit multipliziert. Links geht es mit in die Klammer ein wobei der Operator ausgeklammert bleibt. In beiden Summanden ist nun A enthalten, im ersten Summanden mit der Einheitsmatrix ergibt es wieder und im zweiten fällt es weg, da und die Einheitsmatrix tut auch dem nicht weh.
Auf der rechten Seite der Gleichung wird es außerhalb der Klammer angehängt.


Was mich beim ersten noch wurmt ist, woher wissen wir, dass ist?
Kannst du mir das vielleicht erklären, ich komme da nur durch die etwas ausschweifenden Umformungen drauf. Deine Umformung ging natürlich viel schneller aber ich verstehe die Annahme nicht, du musst ja, bevor du eine Gleichung umformst, erstmal eine haben und ich hatte mir ja meine aus und zurechtgedengelt.

Danke
DP1996 Auf diesen Beitrag antworten »

ich nach einer Woche da wieder reinzudenken ist ganz schön tricky...

Aber gut. Wir beginnen mit der Trivialität Jetzt kann ich mir zu jedem weiteren Vektor u eine quadratische Matrix A basteln so, dass ist. Umgekehrt kann ich mir auch zu jeder invertierbaren n*n Matrix A einen Vektor u basteln, so dass ist. Ich finde also immer irgendein A und irgendein u, so dass zum Schluss w rauskommt. Und dann ersetze ich das oben in meiner Trivialität. (Letztendlich ist der oben lang und breit dikutierte Satz der Dreh- und Angelpunkt des ganzen).

Diese Bedingungen mit liefern dir etwas anderes, und zwar sollst du auch noch zeigen, dass B invertierbar ist, das macht man hier am besten mit der Determinante (und wie?)
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