Implizite Funktionen glaube ich xD

26.06.2012, 21:49	Soral	Auf diesen Beitrag antworten »
Implizite Funktionen glaube ich xD Hallo Ihr da, ich befinde mich derzeit vor folgender Aufgabe: Ich soll zeigen, dass zu jedem $\begin{eqnarray} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ genau ein $\begin{eqnarray} y \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} ye^{y^{2}}+x^{3}-3x = -2 \end{eqnarray}$ existiert und dass die dadurch gegebene Funktion $\begin{eqnarray} g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ beliebig oft differenzierbar ist. Zudem soll ich dann noch die relativen Extrema von $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ angeben. So zu der Eindeutigkeit der Lösung würde mir jetzt erstmal lediglich ein Wiederspruchsbeweis einfallen (sprich: Angenommen es existieren $\begin{eqnarray} y_{1}, y_{2} \end{eqnarray}$ [ $\begin{eqnarray} y_{1}\neq y_{2} \end{eqnarray}$ ] die die Bedingungen erfüllen, dann folgt durch Gleichsetzen, dass $\begin{eqnarray} y_{1}=y_{2} \end{eqnarray}$ ist). Geht das soweit? Dann fehlt mir noch die Existenz der Lösung. Da hackt es leider bei mir nun schon. Ich würde versuchen, dass man die Lösung y in Abhängigkeit von x darstellt, komme aber an dem Punkt $\begin{eqnarray} ye^{y^{2}} = 3x-x^{3} - 2 \end{eqnarray}$ nicht weiter. Hoffe mir kann da wer auf die Sprünge helfen. MfG Soral
26.06.2012, 23:53	Antwortender No. 1	Auf diesen Beitrag antworten »
Keine Ahnung wie fruchtbar der Ansatz ist, aber kannst ja versuchen via Zwischenwertsatz zu zeigen, dass die Funktion yexp(y²)-3x+x³+2 für jedes y element R sowohl positive als auch negative Stellen hat, was bedeutet das es eine Nulldurchgang geben muss.
26.06.2012, 23:55	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Implizite Funktionen glaube ich xD Zeige, dass $\begin{eqnarray} ye^{y^{2}} \end{eqnarray}$ unbeschränkt und streng monoton ist. Damit wird jeder Funktionswert genau einmal angenommen.

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