Konvergenz einer Reihe prüfen

26.06.2012, 21:52

Christian_P

Konvergenz einer Reihe prüfen

die Reihe lautet: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{x+k} \end{eqnarray*}$

Mein Vorschlag:

Ich möchte $\begin{eqnarray*} x > -1 \end{eqnarray*}$ vorraussetzten, damit bei der Summation keine Division durch 0 auftritt.

$\begin{eqnarray*} \left| a_k \right|=\left| \frac{(-1)^{k-1}}{x+k} \right|=\frac{1}{x+k}\geq\frac{1}{xk+k}=\frac{1}{(x+1)k} \end{eqnarray*}$

als hätte ich die kleinere Reihe $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{x+1}\right)\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ die harmonische Reihe ist divergent,

daraus folgt die Reihe ist nicht absolut konvergent und damit divergent.

gut so?

liebe Grüße

26.06.2012, 22:37

Ungewiss

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Du hast nur gezeigt, dass die Reihe nicht absolut konvergiert. Hier hilft ein anderes Kriterium weiter.

Edit: Dass sie nicht absolut konvergiertist dir also klar. Was ist also überhaupt die Aufgabe?

27.06.2012, 06:29

Christian_P

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hi, danke für die Antwort.

Die Aufgabe lautete: Bestimmen Sie, ob die Reihe divergent, bedingt konvergent oder absolut konvergent ist.

Wie könnte ich noch an die Sache herangehen?

lg

27.06.2012, 08:39

Mystic

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Komisch... Einerseits schreibst du

Zitat:

Original von Christian_P
Die Aufgabe lautete: Bestimmen Sie, ob die Reihe divergent, bedingt konvergent oder absolut konvergent ist.

d.h., du hast die Auswahl unter 3 Möglichkeiten... Andererseits sagst du

Zitat:

Original von Christian_P
daraus folgt die Reihe ist nicht absolut konvergent und damit divergent.

d.h., du gehst von einem "tertium non datur" aus... Irgendwie passt das alles nicht zusammen... geschockt

27.06.2012, 08:40

Iorek

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Zitat:

Original von Christian_P
bedingt konvergent oder absolut konvergent ist.

Was für Kriterien für die bedingte Konvergenz einer Reihe sind dir denn bekannt?

27.06.2012, 08:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von Christian_P
Ich möchte $\begin{eqnarray*} x > -1 \end{eqnarray*}$ voraussetzen, damit bei der Summation keine Division durch 0 auftritt.

Eigentlich genügt es zu fordern, dass $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ keine negative ganze Zahl sein darf - davon abgesehen darf $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ beliebig reell sein. Nicht, dass es für die Konvergenz eine wichtige Rolle spielen würde, aber die Argumentation muss dann minimal angepasst werden.

P.S.: War nur als kleiner Einwurf gedacht, ansonsten sind hier schon genug Spitzenköche am Werk. Augenzwinkern

27.06.2012, 08:53

Christian_P

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Hi, danke für die Hinweise.

hmm eigentlich kann ich mit dem Begriff bedingte Konvergenz noch nicht so richtig was anfagen.

Ich würde so herangehen um das zu Prüfen:

da die Reihe alterniert prüfe ich, ob

1.) $\begin{eqnarray*} |a_k| \to 0 \end{eqnarray*}$ und 2.) $\begin{eqnarray*} |a_k|\geq |a_{k+1}| \end{eqnarray*}$ ab einem gewissen k (oder für alle k?)
daraus folgt dann, dass die Reihe kovergiert.

Das müsste das LeibnizKriterium sein.

lg

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