Spektralsatz, Bilinearformen und diverses

26.06.2012, 22:30	irgendeiner	Auf diesen Beitrag antworten »
Spektralsatz, Bilinearformen und diverses Meine Frage: Hallo, Sei n $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ , A $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ Mn( $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ). Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind: (i) A ist diagonalisierbar (ii) Es existiert eine symmetrische, positiv definite Matrix S $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ GLn( $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ) mit A^t = (S^-1)AS (iii) Es existiert ein Skalarprodukt auf $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ^n, so dass A bezüglich dieses Skalarproduktes selbstadjungiert ist Meine Ideen: Lösungsstrategie: i => ii => iii => i i => ii: bereitet mir am meisten Schwierigkeiten Ich weiß, dass A ähnlich ist zu einer Diagonalmatrix ist, aber das hilft mir hier nicht weiter ii => iii: mit der Voraussetzung kann ich nich auf <x,Ay> = <Ax,y> auf kommen iii => i: Da A selbstadjungiert, folgt aus Spektralsatz, dass der R^n eine Orthonormalbasis B besitzt, so dass diese aus Eigenvektoren von A besteht => A ist diagonalisierbar, da (C^-1)AC Diagonalgestalt hat wobei C hier die Matrix ist mit den Elementen aus B in den Spalten von C
27.06.2012, 05:36	lp-raum	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin mir gerade nicht sicher bzgl. (ii), aber dein (iii)=>(i) ist richtig und für die umgekehrte Richtung kann man sich zu einer beliebig gegebenen Basis aus Eigenvektoren $\begin{eqnarray} (b_1,..,b_n) \end{eqnarray}$ von A ein Skalarprodukt definieren, sodass die Basis eine Orthonormalbasis bzgl. dieses Skalarproduktes wird.

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