Selbstadjungiert, Relation

27.06.2012, 01:59

Springpony

Selbstadjungiert, Relation

Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} C \in M_{m x n} (\mathbb{C}) \end{eqnarray*}$
Zeige
C*C >= 0
und C*C >0 falls rank(C) =n

Meine Ideen:
C* .. selbstadjungierte
C* = $\begin{eqnarray*} \overline{C}^t \end{eqnarray*}$

Ich weiß nicht, wie ich das zeigen kann.
Hat das was mit der definitheit zu tun?

Wäre für Hilfe dankbar.
liebe grüße

27.06.2012, 07:41

Captain Kirk

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Was soll denn z.B. C*C>0 heißen, wenn C*C eine Matrix ist? (es ist Zahl falls n =1)

27.06.2012, 12:16

Springpony

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Eine Matrix C ist genau dann positiv semidefenit wenn für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ gilt x* C x >= 0
C* C $\begin{eqnarray*} \in M_{n x n} \end{eqnarray*}$
x* C* C x = d* d
wobei d= Cx

27.06.2012, 12:42

Captain Kirk

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Gut, damit hast du das Problem reduziert auf $\begin{eqnarray*} d^*d\geq 0 \end{eqnarray*}$ .
Jetzt für d einen allgemeinen Vektor ansetzen und $\begin{eqnarray*} d^*d \end{eqnarray*}$ ausrechnen (oder übers Skalarprodukt argumentieren).
Dabei sieht man auch für welche d $\begin{eqnarray*} d^*d = 0 \end{eqnarray*}$ gilt.
Dann kannst du die überlegen welche x Cx = d (d mit $\begin{eqnarray*} d^*d = 0 \end{eqnarray*}$ ) erfüllen.

27.06.2012, 12:59

Springpony

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Warum ist d* d immer >= 0 in $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\begin{pmatrix} \overline{a_1} \\ ... \\ \overline{a_n} \end{pmatrix})^T \begin{pmatrix} a_1 \\ ... \\ a_n \end{pmatrix} = \overline{a_1} a_1 +..+\overline{a_n} a_n \end{eqnarray*}$

Ist nur 0 wenn alle $\begin{eqnarray*} a_1 , .. a_n \end{eqnarray*}$ 0 sind.

Die unterste Zeile verstehe ich nicht.

27.06.2012, 13:03

Captain Kirk

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Ausgerechnet hast du's richtig.
Aber es geht ja erstmal darum warum das nicht-negativ wird.

Zitat:

Ist nur 0 wenn alle $\begin{eqnarray*} a_1 , .. a_n \end{eqnarray*}$ 0 sind.

Ist richtig.
Um meinen letzten Satz zu verstehen musst du jetzt deine Erkenntnis wie d in diesem Fall aussieht einsetzen.

27.06.2012, 13:16

Springpony

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$\begin{eqnarray*} d \in M_{m \times 1} \end{eqnarray*}$
Meinst du das?

Achso
$\begin{eqnarray*} \overline{a_1} * a_1 = (x-iy)*(x+iy) = x^2 + y^2 \end{eqnarray*}$
-> deshalb positiv

Dann ist der erste Teil erledigt.
Nun folgt dass mit dem Rank: C*C >0 falls rank(C) =n

C* C $\begin{eqnarray*} \in M_{n x n} \end{eqnarray*}$
x* C* C x = d* d =0
genau dann wenn d der Nullvektor ist

Kanndt du mir da nochmals helfen?

27.06.2012, 13:19

Captain Kirk

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$\begin{eqnarray*} [latex] \overline{a_1} * a_1 = (x-iy)*(x+iy) = x^2 + y^2 \end{eqnarray*}$ [/latex]
oder auch $\begin{eqnarray*} |a_1|^2 \end{eqnarray*}$ geschrieben.

Vielleicht kamms nicht genau raus:

Zitat:

Dabei sieht man auch für welche d $\begin{eqnarray*} d^*d = 0 \end{eqnarray*}$ gilt.
Dann kannst du die überlegen welche x Cx = d (d mit $\begin{eqnarray*} d^*d = 0 \end{eqnarray*}$ ) erfüllen.

Das bezieht sich auf die b).

27.06.2012, 13:29

Springpony

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okay, ich war nur verwirrt, weil sich die teile vermischt haben^^

> Dabei sieht man auch für welche d $\begin{eqnarray*} d^*d = 0 \end{eqnarray*}$ gilt.
genau dann wenn d der Nullvektor ist

> Dann kannst du die überlegen welche x Cx = d (d mit $\begin{eqnarray*} d^*d = 0 \end{eqnarray*}$ ) erfüllen.
$\begin{eqnarray*} Cx = \begin{pmatrix} 0 \\ ... \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Bei positiv definit darf das x nicht der Nullvektor sein.
Ich verstehe aber nicht was mir dem Rank hier helfen soll? Die Invertierbarkeit von C*C vlt??

LG

27.06.2012, 13:33

Captain Kirk

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Zitat:

Ich verstehe aber nicht was mir dem Rank hier helfen soll? Die Invertierbarkeit von C*C vlt??

Im Deutschen heißt es Rang. Mit C*C hat der Rang a priori nicht zu tun.
Das Gleichungssystem
$\begin{eqnarray*} Cx = \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
hat genau eine Lösung, wenn...

27.06.2012, 14:19

Springpony

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Ich komme da nicht drauf ..

> hat genau eine Lösung, wenn...
Das Gleichungssystem ist immer lösbar da x=0 immer eine Lösung ist

C kann ich in reduzierte Zeilenstufenform bringen, dabei ändert sich der Lösungsraum nicht

27.06.2012, 14:21

Captain Kirk

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Zitat:

hat genau eine Lösung, wenn...

Nachschlagen im LinAlg I Skript und nie wieder vergessen.

27.06.2012, 20:45

Springpony

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Ich habe es leider nicht gefunden.
Ich mein wenn du mir den satz sagst, wäre es ja nicht zu viel verlang?
Sonst sterbe ich unwissend^^

27.06.2012, 21:39

Captain Kirk

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Gut gesucht hast du offensichtlich nicht.

Ein lineares Gleichungssystem Ax=0 hat genau dann eine Lösung wenn A maximalen Rang hat, was wiederrum äquivalent zur Invertierbarkeit von A ist.

27.06.2012, 21:50

Springpony

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Okay, ich habe das ganze nun anders gemacht mit einen indirekten Ansatz.
Aber danke !

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