Median

27.06.2012, 12:10	xxyx	Auf diesen Beitrag antworten »
Median Hallo zusammen, irgendwie tu ich mich gerade mit folgender Aufgabe etwas schwer: [attach]25102[/attach] Wirkliche Ideen oder Ansätze hab ich leider auch nicht... Ich wäre einfach froh um jede Hilfe! Besten Dank schon mal.
28.06.2012, 15:39	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehe diesen Thread erst jetzt, auch wenn heute nochmal jemand (in verstümmelter, unvollständiger und zum Schluss dann leider auch pöbelnder Form) diese Aufgabe hier angefragt hat. $\begin{eqnarray} M_n \end{eqnarray}$ als "mittlerer" Wert ist bei insgesamt $\begin{eqnarray} (2m+1) \end{eqnarray}$ Werten also der $\begin{eqnarray} (m+1) \end{eqnarray}$ -te Wert in der aufsteigend geordneten Folge aller $\begin{eqnarray} U_k \end{eqnarray}$ . D.h., das Ereignis $\begin{eqnarray} [M_n\leq t] \end{eqnarray}$ ist gleichbedeutend damit, dass dieser $\begin{eqnarray} (m+1) \end{eqnarray}$ -te Wert kleiner oder gleich $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ ist, was wiederum äquivalent dazu ist, dass mindestens $\begin{eqnarray} (m+1) \end{eqnarray}$ der $\begin{eqnarray} n=2m+1 \end{eqnarray}$ Werte $\begin{eqnarray} U_1,\ldots,U_n \end{eqnarray}$ kleiner oder gleich $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ sind! Nun hat jedes der Einzelereignisse $\begin{eqnarray} [U_k\leq t] \end{eqnarray}$ die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ , sie sind außerdem unabhängig voneinander. Die zufällige Anzahl der eintreffenden Einzelereignisse $\begin{eqnarray} [U_k\leq t] \end{eqnarray}$ ist demnach $\begin{eqnarray} B(n,t) \end{eqnarray}$ verteilt, wir bezeichnen diese Anzahl nun einfach mit $\begin{eqnarray} X_t \end{eqnarray}$ , womit der erste Teil der Aufgabe bereits erledigt ist. Zum zweiten Teil: Die Binomialverteilung eingesetzt ergibt sich für die Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray} M_n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F_n(t) = P(M_n\leq t) = \sum_{k=m+1}^n \binom{n}{k} t^k(1-t)^{n-k} \end{eqnarray}$ , deren Ableitung nach $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ nun einfach die gesuchte Dichte $\begin{eqnarray} f_n(t) \end{eqnarray}$ ist. Der genannte Hinweis ist sicher hilfreich bei der Vereinfachung (besser gesagt: Nahezu-Auslöschung) dabei entstehender Teilsummen.

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