Rangbestimmung bei Matrizen

27.06.2012, 14:12

Haki91

Rangbestimmung bei Matrizen

Meine Frage:
Also ich befinde mich gerade in meiner Klausurvorbereitung für Mathe II
und das Einzige was mir noch fehlt, bzw was ich noch nicht kann/versteh ist; wie ich jetzt genau den Rang einer Matrix bestimmen kann?

Meine Ideen:
Ich weiß, dass wenn ich jetzt die Matrix :

A= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 0 & -4 & -2 & 0 \\ 3 & 1 & -6 & -1 & 2 \\ 4 & 2 & -2 & -3 & 0 \\ -1 & 1 & 8 & 0 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

gegeben habe & sie dann transformiere zu einer Dreiecksmatrix :

$\begin{eqnarray*} \vec{A} :\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 6 & -3 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$
Dann ergibt sich ja daraus, dass der Rang dieser Matrix 3 ist. Das ist ja die Methodik wie ich den Zeilenrang errechne. (oder?)

Wenn ich jetzt aber die Vektoren (3,0,1) traurig

1,1,0) ; (0,1,1) habe, woher weiß ich das diese auch linear unabhängig sind? (Die Aufgabe kommt aus einem Mathebuch). Muss ich da auch wieder eine Dreiecksmatrix erzeugen?

Und jetzt eigentlich zum wichtigsten:

Das ist eine Aufgabe aus der Vorjahresklausur:

A= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 1 & k \\ 1 & 0 & 2 \\ k & 4 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

c): Geben Sie den Spaltenrang von A in Abhängigkeit von k an.

Wie stell ich das jetz an ?Muss ich eine Dreiecksmatrix zur anderen Diagonalen erstellen?! Und wie geht das mit "K"..? Ich bin verwirrt.. Ich bitte um Hilfe :ü

Mfg Dennis

27.06.2012, 14:39

HueHang

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Genau, der Rang der Matrix ist die Stufenanzahl einer Matrix. Wenn du die lineare Unabhängigkeit von Vektoren prüfen musst, dann kannst du diese in Matrix-Form aufschreiben und das Gaußsche Eliminationsverfahren benutzen. Falls es nur eine Lösung gibt - also vollen Rang hat - dann sind die Vektoren lin. unabh.

Bei der Aufgabe mit dem Parameter $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ musst du ganz normal den Gauß-Algorithmus anwenden, wie du es mit der oberen Matrix getan hast.

27.06.2012, 14:56

Haki91

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Also gibt es keine verkürzte Fassung davon? Gut zu wissen ;D weil in den Büchern die ich mir angeschaut hab, wurden halt die Vektoren so aufgezeigt, bzw. die Matrizen & es wurde einfach dann davon ausgegangen, dass sie linear unabhängig sind, aber nicht wie man darauf kommt...
also gehen die wohl davon aus, dass man das Gaußsche Eliminationsverfahren genutzt hat.

Das mit dem Umstellen werd ich nachher gleich mal ausprobieren & sag dann bescheid ob ichs rausbekommen hab Augenzwinkern

Danke schon mal!

27.06.2012, 15:13

DP1996

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Wenn ich mich kurz einmischen darf:

Zitat:

Wenn ich jetzt aber die Vektoren (3,0,1) ; (1,1,0) ; (0,1,1) habe, woher weiß ich das diese auch linear unabhängig sind? (Die Aufgabe kommt aus einem Mathebuch). Muss ich da auch wieder eine Dreiecksmatrix erzeugen?

Nicht zwingend. Du kannst dir auch ganz direkt das Gleichungssystem
$\begin{eqnarray*} a\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+c\begin{pmatrix} 0 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
anschauen. Wenn die einzige Lösung a=b=c=0 ist, sind die Vektoren linear abhängig. (Letztendlich machst du aber bei den Umformungen der Matrix nichts anderes, als dieses Gleichungssystem zu manipulieren, weshalb das im Wesentlichen blos eine andere Art des Aufschreibens ist.)

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