Exponentialgleichung lösen

27.06.2012, 14:15

fizzy_bubbele

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Exponentialgleichung lösen

Guten Tag,
ich habe in zwei wochen Klausuren und bin momentan mit der Vorbereitung beschäftigt.
Aber ich komme einfach mit der Aufgabe nicht weiter.

4^2x+1 - 17 * 4^x + 4 = 0

Ich weiß einfach nicht wie ich mit den hochzahlen umgehen soll.
Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen.

27.06.2012, 14:44

HueHang

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Sieht die Gleichung so aus?
$\begin{eqnarray*} 4^{2x+1} - 17 * 4^x + 4 = 0 \end{eqnarray*}$

Verwende mal die Logarithmus-Funktion Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.06.2012, 14:49

Haki91

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Hey Fizzy,

ich glaub ich kann dir vielleicht ein paar Schritte weiterhelfen, aber nicht unbedingt zum endgültigen Ergebnis bringen:

4^2x+1 - 17 * 4^x + 4 = 0 hast du gegeben

zuerst bringst du den Term: -17 * 4^x +4 auf die andere seite

-> 4^2x+1 = 17*4^x +4 | :4^x+4

Hierbei kommt jetzt eins der Potenzgesetze ins Spiel [ (a^u) / (a^v) = a^u-v ] !!!!

=> 4^(2x+1)-(x+4) =17

=> 4^(x-3)= 17

Wie man danach weitermachen könnte weiß ich jetzt gerade auch nicht, schuldige xD

27.06.2012, 15:00

fizzy_bubbele

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Ja genaus so sieht die Gleichung aus HueHang:

Also wenn ich die Logarithmusfunktion anwende komme ich auf das stimmt das?

2x+1lg(4) - 17 * x lg(4) + 4 = 0

@ Haki die Gleichung sieht so aus wie HueHang es geschrieben hat.

27.06.2012, 15:00

original

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also,
wenn die Aufgabe so aussieht:

$\begin{eqnarray*} 4^{2x+1} - 17 * 4^x + 4 = 0 \end{eqnarray*}$

und du ernsthaft hier (Hochschulmathematik) nachfragst, dann darfst du dich nicht wundern
über die flotten Ratschläge, die man dir hier oben anjuxt..

hier noch ein weiterer Vorschlag:
teile beide Seiten durch 4 ...
und schon siehst du die quadratische Gleichung, die zu lösen ist smile

smile

.

27.06.2012, 15:04

fizzy_bubbele

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Ich beschwere mich doch gar nicht über die Vorschläge bin für alles dankbar =).

Meinst du ich soll die Grundgleichung durch 4 Teilen oder nachdem ich die Logarithmus-Funktion angewendet habe?

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27.06.2012, 15:09

sulo

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Zitat:

Original von original
und du ernsthaft hier (Hochschulmathematik) nachfragst, dann darfst du dich nicht wundern
über die flotten Ratschläge, die man dir hier oben anjuxt..

@original
Bitte diskreditiere nicht unsere Helfer. unglücklich

unglücklich

27.06.2012, 15:12

original

Auf diesen Beitrag antworten »

.
du hast doch Summanden rumstehen ..
und meist ist da wohl $\begin{eqnarray*} log(a+b)\neq log(a) + log(b) \end{eqnarray*}$
- oder?
also erstmal :

geschockt

geschockt

nix Logarithmus ...

Vorschlag war:

$\begin{eqnarray*} 4^{2x+1} - 17 * 4^x + 4 = 0 \end{eqnarray*}$

zuerst mal auf beiden Seiten durch 4 ... Wink

Wink

-> ...

27.06.2012, 15:26

fizzy_bubbele

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok das hätte mir auch einfallen können.
dann bin ich bei

1^2x+1 - 4 1/4 * 1^x + 1 = 0

jetzt bleibt einem ja nicht viel übrig als Logarithmus-Funktion anzuwenden oder?

27.06.2012, 15:30

HAL 9000

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An diesem Thread sieht man leider deutlich, dass ärgerlicherweise weggelassene $\begin{eqnarray*} {}^1 \end{eqnarray*}$ oder eigenwillig selbst eingezogene $\begin{eqnarray*} {}^2 \end{eqnarray*}$ Klammern total den Inhalt der Aufgabe ändern und dann auch noch fast zu ärgerlichen Verstimmungen $\begin{eqnarray*} {}^3 \end{eqnarray*}$ führen. Das muss doch nicht sein. unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} {}^1 \end{eqnarray*}$ bei fizzy_bubbele
$\begin{eqnarray*} {}^2 \end{eqnarray*}$ bei Haki91
$\begin{eqnarray*} {}^3 \end{eqnarray*}$ bei sulo* & original

@fizzy_bubbele

Setz also endlich Klammern um die Exponenten, oder gewöhn dich an das LaTeX. In deinem bisherigen Stil geht es irgendwann nochmal gründlich gegen den Baum.

*edit von sulo: Ich schreibe hier einfach mal rein, weil ich den Thread nicht noch mehr mit OT aufblähen möchte.
Dennoch hätte ich gerne klar gestellt, dass ich mich weniger über ein paar vergessene Klammern aufrege (obwohl das schlimm genug ist, wie man sieht) als vielmehr über einen User, der anderen Migliedern das ehrliche Bemühen um Hilfe abspricht.
Ich möchte nicht mit diesem User in einem Atemzug genannt werden.

27.06.2012, 15:36

original

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Zitat:

Original von fizzy_bubbele
Ok das hätte mir auch einfallen können.
dann bin ich bei

1^2x+1 - 4 1/4 * 1^x + 1 = 0

jetzt bleibt einem ja nicht viel übrig als Logarithmus-Funktion anzuwenden oder?

geschockt

.........................Nein
denke neu nach :
was gibt es zB

$\begin{eqnarray*} \frac{4^{2x+1} }{4^{1} } = ? \end{eqnarray*}$

.. du hast doch sicher schon von den Regeln des Potenzrechnens gehört?

also: mach einen neuen Versuch ->...

aber tschau, inzwischen interessieren sich ja hier andere ...

28.06.2012, 14:48

fizzy_bubbele

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ohje natürlich, was hab ich den da gemacht Finger1

Finger1

$\begin{eqnarray*} 4^{2x} - 4\frac{1}{4}- 4^{x-1} + 1 \end{eqnarray*}$
so müsste stimmen oder?

28.06.2012, 15:31

Bernhard1

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Zitat:

Original von fizzy_bubbele
so müsste stimmen oder?

Hallo fizzy_bubbele,

ohne weiter auf die Division durch 4 einzugehen, würde ich an Deiner Stelle lieber mal die Mitternachtsformel ganz genau ansehen. Vielleicht kann man sich ja so jeglichen log und jegliche Division sparen...^^

Man muss sich allerdings bei $\begin{eqnarray*} 4^{2x+1} \end{eqnarray*}$ schon etwas einfallen lassen.
Gruß

28.06.2012, 15:37

fizzy_bubbele

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War das Ergebnis der Division durch 4 nicht korrekt?

28.06.2012, 15:39

Bernhard1

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Zitat:

Original von fizzy_bubbele
so müsste stimmen oder?

Da fehlt mir die 17 Lehrer

Lehrer

.

Macht aber (wie gesagt) nichts. Überlege Dir besser wo genau die quadratische Variable "versteckt" ist.

28.06.2012, 15:49

Bernhard1

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Hier noch ein Tip:

Teile nicht die gesamte Gleichung durch 4 sondern nur den Term $\begin{eqnarray*} 4^{2x+1} \end{eqnarray*}$ .

28.06.2012, 16:23

original

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Zitat:

Original von Telefonmann1
Hier noch ein Tip:

Teile nicht die gesamte Gleichung durch 4 sondern nur den Term $\begin{eqnarray*} 4^{2x+1} \end{eqnarray*}$ .

hm?
? irgendwie lustige Idee Prost

Prost

@fizzy_bubbele :

ja, dein oben gemachter Teil-Versuch ist etwas missglückt..

also:

$\begin{eqnarray*} 4^{2x+1} - 17 * 4^x + 4 = 0 \end{eqnarray*}$

auf beiden Seiten geteilt durch 4 sollte dann dies geben: (denk darüber nach) ->

$\begin{eqnarray*} 4^{2x} - \frac{17}{4} \cdot 4^x + 1 = 0 \end{eqnarray*}$

und jetzt findest du sicher selbst heraus, wie die folgende quadratische Gleichung
dir nun weiterhelfen könnte:

$\begin{eqnarray*} u^2 - \frac{17}{4} \cdot u + 1 = 0 \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

28.06.2012, 18:31

fizzy_bubbele

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Danke für euere Hilfe.

Aber ich weiß leider nicht wie ich mit der quadratischen Gleichung fortfahren soll.
Tut mir leid aber ich gebe mein bestes aber irgendwie will ich es nicht verstehen unglücklich

unglücklich

28.06.2012, 19:34

Mystic

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Ich persönlich versteh auch gar nicht, warum alles so wild drauf sind, hier durch 4 zu dividieren und damit Brüche ins Spiel zu bringen... Tatsächlich gilt ja

$\begin{eqnarray*} 4^{2x+1} - 17 * 4^x + 4 =(4^{x+1}-1)(4^x-4)= 0 \end{eqnarray*}$

woraus man die Lösungen für x unmittelbar ablesen kann... Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.06.2012, 22:16

Bernhard1

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Zitat:

Original von Mystic
Tatsächlich gilt ja

Womit Du fizzy_bubbele die Möglichkeit genommen hast diesen Schritt selbst durchzuführen traurig

traurig

. Das nötige Werkzeug kann man schließlich hier nachlesen: Mitternachtsformel.

Soll aber keine Kritik, sondern eine Anregung sein. Bin ja noch recht frisch hier Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

29.06.2012, 07:30

Mystic

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Zitat:

Original von Telefonmann1
Womit Du fizzy_bubbele die Möglichkeit genommen hast diesen Schritt selbst durchzuführen traurig

traurig

.

Hm, hast du diesen Thread wirklich von Anfang an gelesen? Wenn ja, glaubst du trotzdem, dass fizzy_bubbele auch nur den Funken einer Chance gehabt hätte, selbst auf diese Zerlegung zu kommen?... verwirrt

verwirrt

Ne, meine Bemerkung war mehr an die anderen Helfer hier gerichtet, die so erpicht darauf waren, die Gleichung durch 4 zu dividieren...

Edit: Im übrigen ist ja der Weg über die Mitternachtsformel nach wie vor offen, ich hab ja dazu oben gar nichts gesagt, ja nicht einmal angegeben, was am Schluss herauskommt...

29.06.2012, 07:50

Bernhard1

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Zitat:

Original von Mystic
glaubst du trotzdem, dass fizzy_bubbele auch nur den Funken einer Chance gehabt hätte, selbst auf diese Zerlegung zu kommen?

Auf lange Sicht gesehen besteht da wohl immer eine gewisse Chance...

29.06.2012, 08:59

fizzy_bubbele

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Zitat:

Original von Mystic
Ich persönlich versteh auch gar nicht, warum alles so wild drauf sind, hier durch 4 zu dividieren und damit Brüche ins Spiel zu bringen... Tatsächlich gilt ja

$\begin{eqnarray*} 4^{2x+1} - 17 * 4^x + 4 =(4^{x+1}-1)(4^x-4)= 0 \end{eqnarray*}$

woraus man die Lösungen für x unmittelbar ablesen kann... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also ich verstehe einfach nicht wie man auf die Zerlegung kommt.
Wenn ich doch jetzt die klammern wieder ausmultiplizieren dann komm doch auf ein anderes Ergebnis, und zwar:

$\begin{eqnarray*} 4^{2x+1} - 4^{x+1} - 4^x + 4 \end{eqnarray*}$

irgendwie kriege ich das nicht gelöst, scheint ja eigentlich nicht schwer zu sein =)

29.06.2012, 09:31

Mystic

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Zitat:

Original von fizzy_bubbele
Also ich verstehe einfach nicht wie man auf die Zerlegung kommt.
Wenn ich doch jetzt die klammern wieder ausmultiplizieren dann komm doch auf ein anderes Ergebnis, und zwar:

$\begin{eqnarray*} 4^{2x+1} - 4^{x+1} - 4^x + 4 \end{eqnarray*}$

irgendwie kriege ich das nicht gelöst, scheint ja eigentlich nicht schwer zu sein =)

Nee, schwer ist es wirklich nicht, aber du hast dich zum einen verrechnet, denn es muss heißen

$\begin{eqnarray*} 4^{2x+1} - 4^{x+2} - 4^x + 4 \end{eqnarray*}$

zum anderen gilt tatsächlich

$\begin{eqnarray*} 4^{x+2}+4^x=4^2 4^x+4^x=(4^2+1)4^x=17\cdot 4^x \end{eqnarray*}$

Ich bin dir aber durchaus dankbar für diese Rückfrage, denn ehrlich gesagt, hatt ich oben fast schon ein bißchen ein schlechtes Gewissen, was meine Einschätzung deiner Chancen betraf, da selbst drauf zu kommen... Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.06.2012, 11:10

fizzy_bubbele

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$\begin{eqnarray*} (4^2+1)4^x=17 * 4^x \end{eqnarray*}$

kannst du mir bitte erklären wie man da auf $\begin{eqnarray*} 17 * 4^x \end{eqnarray*}$ kommt?
Will es einfach nicht verstehen unglücklich

unglücklich

29.06.2012, 11:29

Mystic

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Zitat:

Original von fizzy_bubbele
$\begin{eqnarray*} (4^2+1)4^x=17 * 4^x \end{eqnarray*}$

kannst du mir bitte erklären wie man da auf $\begin{eqnarray*} 17 * 4^x \end{eqnarray*}$ kommt?
Will es einfach nicht verstehen unglücklich

unglücklich

Hm, was genau verstehst du daran nicht? Dass gilt

$\begin{eqnarray*} 4^2+1=16+1=17 \end{eqnarray*}$

oder was anderes? verwirrt

verwirrt

29.06.2012, 13:18

fizzy_bubbele

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omg das ist natürlich klar Hammer

Hammer

aber was ich immer noch nicht verstanden habe wie kommt auf diese zerlegung?
Sieht man das einfach aus Erfahrung oder wie kommt ihr drauf?

$\begin{eqnarray*} 4^{2x+1}%20-%2017%20*%204^x%20+%204%20=(4^{x+1}-1)(4^x-4)=%200 \end{eqnarray*}$

29.06.2012, 13:59

Bernhard1

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Zitat:

Original von fizzy_bubbele
Sieht man das einfach aus Erfahrung oder wie kommt ihr drauf?

$\begin{eqnarray*} 4^{2x+1}%20-%2017%20*%204^x%20+%204%20=(4^{x+1}-1)(4^x-4)=%200 \end{eqnarray*}$

Hallo fizzy_bubbele,

man kann sich diese Zerlegung wie folgt erklären. Setze

$\begin{eqnarray*} u:=4^x \end{eqnarray*}$ ,

dann gilt:

$\begin{eqnarray*} 4^{2x+1}%20-%2017%20*%204^x%20+%204%20=4u^2-17u+4=0 \end{eqnarray*}$

Letztere Gleichung ist eine quadratische Gleichung mit den Lösungen u=1/4 und u=4.

Damit hat man das Problem auf die Gleichung $\begin{eqnarray*} u:=4^x \end{eqnarray*}$ reduziert, wobei u bekannt ist. Die Berechnung von x ist dann trivial.

29.06.2012, 14:27

fizzy_bubbele

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Zitat:

Original von Telefonmann1

Zitat:

Original von fizzy_bubbele
Sieht man das einfach aus Erfahrung oder wie kommt ihr drauf?

$\begin{eqnarray*} 4^{2x+1}%20-%2017%20*%204^x%20+%204%20=(4^{x+1}-1)(4^x-4)=%200 \end{eqnarray*}$

Hallo fizzy_bubbele,

man kann sich diese Zerlegung wie folgt erklären. Setze

$\begin{eqnarray*} u:=4^x \end{eqnarray*}$ ,

dann gilt:

$\begin{eqnarray*} 4^{2x+1}%20-%2017%20*%204^x%20+%204%20=4u^2-17u+4=0 \end{eqnarray*}$

Letztere Gleichung ist eine quadratische Gleichung mit den Lösungen u=1/4 und u=4.

Damit hat man das Problem auf die Gleichung $\begin{eqnarray*} u:=4^x \end{eqnarray*}$ reduziert, wobei u bekannt ist. Die Berechnung von x ist dann trivial.

Vielen Dank Telefonmann1!

mit dem einsetzen von u war alles verständlich =).
Weiß nicht warum ich es mir so schwer gefallen ;D

Nach dem ich die Gleichung mit der Mitternachtsformel gelöst habe komme ich auch auf u1 = 4 und u1 = 1/4.

Vielen Dank =).

Aber eine Frage hätte ich noch da ich momentan auf die Prüfungen lerne und sicherlich wieder fragen haben werde, soll ich die neuen Fragen auch in diesem Thread posten?

29.06.2012, 14:33

fizzy_bubbele

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$\begin{eqnarray*} 2^{2x+5} - 3 * 2^{x+2} + 1 = 0 \end{eqnarray*}$

Wie würde das bei der Gleichung aussehen?
Hier kann ich ja leider kein u einsetzen oder?

29.06.2012, 16:56

Bernhard1

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Zitat:

Original von fizzy_bubbele
Hier kann ich ja leider kein u einsetzen oder?

Wie wäre es mit

$\begin{eqnarray*} u:=2^x \end{eqnarray*}$

Kann man die Terme +5 und +2 nicht irgendwo anders hinstellen? Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.06.2012, 18:08

fizzy_bubbele

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Also hab es mal versucht ich komme dann auf das Ergebnis:

u1 = 0,25 und u2 = 0,125

passt das?

29.06.2012, 18:24

Mystic

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Ja, stimmt... Freude

Freude

Und jetzt, da du doch schon etwas etwas Übung hast und ich dir auch an dem vorigem Beispiel schon gezeigt habe, wie man's macht, könntest du versuchen, das Gelernte anzuwenden und

$\begin{eqnarray*} 2^{2x+5} - 3 * 2^{x+2} + 1 = 0 \end{eqnarray*}$

ohne den Umweg über das "Substituieren" zu zerlegen... Diese Substitionen sind nämlich im Grunde nur Krücken, die am Anfang ganz ok sind, solange man noch nicht den richtigen Blick dafür hat, aber irgendwann muss man dann auch versuchen, endlich "auf eigenen Beinen" zu stehen... Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.06.2012, 18:54

fizzy_bubbele

Auf diesen Beitrag antworten »

Also direkt zerlegen bekomme ich einfach nicht hin.

Aber wenn ich substituiere, muss ich dann das Ergebnis nochmals wo einsetzen oder ist dann u1 und u2 das ergebnis?

Sorry wenn ich mich dumm anstelle aber bin seit paar tagen nur am lernen und bräuchte langsam ne pause =)

29.06.2012, 19:29

Mystic

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Ok, ich will dich nicht noch mehr verwirren, daher sag ich dir jetzt nur noch die Lösung

$\begin{eqnarray*} 2^{2x+5} - 3 * 2^{x+2} + 1 = (2^{x+3}-1)(2^{x+2}-1)=0 \end{eqnarray*}$

Schließlich gibt es sicher eine Menge Dinge, die für dich im Moment noch wichtiger sind, als solche trickreichen Umformungen... Wink

Wink

29.06.2012, 19:34

Bernhard1

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Zitat:

Original von fizzy_bubbele
passt das?

Gratuliere! Das passt. Man kann es durch Einsetzen sofort verifizieren und die zwei Lösungen für x sind doch wirklich nur noch ein Kinderspiel:

Wie groß ist x, wenn gilt:

$\begin{eqnarray*} 2^x=2^{-2} \end{eqnarray*}$

Big Laugh

Big Laugh

. Die zweite Lösung analog...

Und immer daran denken: Aller Anfang ist schwer. Insbesondere bei der "Affenhitze".

29.06.2012, 21:39

fizzy_bubbele

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Hilfe mit der Zeit hab ich es nun doch noch verstanden Augenzwinkern

Augenzwinkern

Habe gerade einen neuen Thread mit einer Aufgabe die ich nicht gelöst bekomme aufgemacht hoffe das ist in Ordnung oder hätte ich es hier wieder reinschreiben sollen?

29.06.2012, 21:56

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Neue Frage, neuer Thread. Du hast es also genau richtig gemacht Freude

Freude

.

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