Varianz einer Schätzfunktion

27.06.2012, 14:48

dyingangel666

Varianz einer Schätzfunktion

Hey Leute, hab gerade einen Hänger bei einer Übungsaufgabe. Hier erstmal die Aufgabe selbst.

Die Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} X_{1}, ... , X_{2} \end{eqnarray*}$ seien stochastisch unabhängig. Weiter soll angenommen werden, dass sie dieselbe Verteilung haben und dass $\begin{eqnarray*} E[X_{i}] = µ \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Var(X_{i}) = sigma² \end{eqnarray*}$ für i = 1, ... , 5

a) Welche der folgenden Schätzfunktionen für µ sind erwartungstreu?
b) Ist unter den erwartungstreuen diejenige mit der kleinsten Varianz?

$\begin{eqnarray*} A = X_{1} + \frac{3}{5} X_{2} - \frac{1}{5} X_{3} - \frac{1}{5} X_{4} - \frac{1}{5} X_{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B = \frac{1}{5} X_{1} + \frac{1}{5} X_{2} + \frac{2}{5} X_{3} + \frac{3}{7} X_{4} + \frac{1}{8} X_{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C = \frac{1}{2} * (X_{1} + X_{2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D = 1 + \frac{1}{5} * (X_{1} + X_{2} + X_{3} + X_{4} + X_{5}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E = \frac{1}{5} * (X_{1} + X_{2} + X_{3} + X_{4} + X_{5}) \end{eqnarray*}$

Soviel zu der Aufgabe. Aufgabenteil a) war ja kein Thema, sofern das korrekt ist was ich habe. Bei mir sind da die Schätzer A, C, E = erwartungstreu. Für B weiss ich leider garnicht wie ich anfangen soll, da ich ja keine Werte für die Zufallsvariablen habe... ich wollte da irgendwie anfangen mit

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n-1} \sum\limits_{i=1}^n (x_{i} - \vec{x})^{2} \end{eqnarray*}$

27.06.2012, 15:06

HAL 9000

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Zitat:

Original von dyingangel666
und dass $\begin{eqnarray*} E[X_{i}] = µ \end{eqnarray*}$

Anscheinend meinst du hier $\begin{eqnarray*} E[X_{i}] = \mu \end{eqnarray*}$ . Zumindest in Firefox wird nämlich bei dir kein $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ sondern eine $\begin{eqnarray*} {}^5 \end{eqnarray*}$ gezeigt. Schreib also in LaTeX bitte \mu statt µ (es ist fast ärgerlich zu nennen, dass der Internet Explorer letzteres akzeptiert).

27.06.2012, 15:08

dyingangel666

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Mhhh, da ist irgendwas schief gelaufen, natürlich µ :-) Wusste nicht, dass Mozilla das nicht korrekt anzeigen kann und auch nicht wie man es in latex schreibt.

27.06.2012, 15:14

HAL 9000

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Bei b) kannst du folgende zwei Eigenschaften der Varianz nutzen:

1) $\begin{eqnarray*} V(X+Y) = V(X)+V(Y) \end{eqnarray*}$ für unabhängige $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} V(aX) = a^2V(X) \end{eqnarray*}$ für beliebige reelle Zahlen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von dyingangel666
ich wollte da irgendwie anfangen mit

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n-1} \sum\limits_{i=1}^n (x_{i} - \vec{x})^{2} \end{eqnarray*}$

Das ist die empirische Varianz einer Stichprobe - im vorliegenden Fall geht es aber um die Varianz von Zufallsgrößen. Bitte nicht miteinander verwechseln! Obwohl das hier eigentlich gar nicht möglich ist, da eh keine Stichprobe vorliegt.

27.06.2012, 15:14

Gast11022013

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Zum Aufgabenteil b) würde ich jetzt einfach mal vermuten, daß du die Cramér-Rao-Ungleichung bzw. Cramér-Rao-Schranke nutzen musst.

Sofern Ihr das hattet.

27.06.2012, 15:21

dyingangel666

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Zitat:

Original von HAL 9000
Bei b) kannst du folgende zwei Eigenschaften der Varianz nutzen:

1) $\begin{eqnarray*} V(X+Y) = V(X)+V(Y) \end{eqnarray*}$ für unabhängige $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} V(aX) = a^2V(X) \end{eqnarray*}$ für beliebige reelle Zahlen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .

Achso, dachte das wär viel komplizierter. Das heisst ich mache bei b) eigentlich dasselbe wie b ei a) nur mit der Varianz. Ähm, ok dann ist ja eigentlich total easy. Danke für die schnelle Hilfe.

@Dennis

Cramer-Rao was? Nee, das hab ich noch nie gehört, davon steht nix im Script bei uns smile

27.06.2012, 15:25

Gast11022013

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Achso, ich scheine die Aufgabe falsch verstanden zu haben.

Du musst ja einfach bei b) nur alle Varianzen ausrechnen und dann schauen, ob unter den erwartungstreuen Schätzfunktionen die mit der kleinsten Varianz ist.

Ich hatte das so verstanden, dass man sich die erwartungstreuen Schätzfunktionen hernehmen soll und schauen soll, ob unter ihnen eine ist, die die kleinstmögliche Varianz hat, die überhaupt möglich ist. Dafür bräuchte man dann die Cramér-Rao-Ungleichung.

Sorry, falsch verstanden bzw. zu kompliziert verstanden.

27.06.2012, 15:30

dyingangel666

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Mhhh, aber da krieg ich ja eigentlich dasselbe raus wie bei a) nur dass da anstatt $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ eben $\begin{eqnarray*} \sigma^{2} \end{eqnarray*}$ steht

Jetzt steh ich doch wieder aufem Schlauch. Das hier hätte ich dann bei der b) raus

$\begin{eqnarray*} var(A) = \sigma^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} var(B) = \frac{279}{280} \sigma^{2} \end{eqnarray*}$

etc...

27.06.2012, 15:35

HAL 9000

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@Dennis2010

So ganz unrecht hast du nicht, es ist ja nicht notwendig gesagt, dass unter den drei verbliebenen Kandidaten auch die Schätzfunktion mit der geringsten Reststreuung dabei ist.

Aber ich denke, wir können hier bei dieser Schulaufgabe davon ausgehen, dass wir nur unter den linearen erwartungstreuen Schätzstatistiken

$\begin{eqnarray*} T = \sum_{k=1}^5 \alpha_k X_k \end{eqnarray*}$

die mit der kleinsten Varianz zu wählen haben, und das ist auch noch ohne Cramér-Rao (der vermutlich noch nicht Schulstoff ist) zu bewältigen. Augenzwinkern

@dyingangel666

Mich beschleicht der Verdacht, dass du mit dem falschen $\begin{eqnarray*} V(aX) \stackrel{?}{=} aV(X) \end{eqnarray*}$ statt dem richtigen $\begin{eqnarray*} V(aX)=a^2V(X) \end{eqnarray*}$ rechnest? verwirrt

27.06.2012, 15:36

Gast11022013

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Zitat:

Original von dyingangel666
$\begin{eqnarray*} var(A) = \sigma^{2} \end{eqnarray*}$

Das ist falsch, Du musst die Tipps verwenden, die HAL 9000 Dir gegeben hat!

Wie kommst Du denn auf Dein (falsches) Ergebnis?

27.06.2012, 15:50

dyingangel666

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Zitat:

Original von HAL 9000
Mich beschleicht der Verdacht, dass du mit dem falschen $\begin{eqnarray*} V(aX) \stackrel{?}{=} aV(X) \end{eqnarray*}$ statt dem richtigen $\begin{eqnarray*} V(aX)=a^2V(X) \end{eqnarray*}$ rechnest? verwirrt

Hoppala, der Verdacht beschleicht dich völlig richtig Big Laugh

PS: Ist kein Schulstoff, ist Mathestoff vom Studium ;-)

27.06.2012, 16:00

dyingangel666

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var(A) = 1,24 sigma²

var(B) = 0,439 sigma²

var(C) = 0,5 sigma²

var(D) = 1+ 0,2 sigma²

Fällt da bei "D" die 1 dann weg weils ne Konstante ist? Das hab ich mich beim Erwartungswert nämlich auch schon gefragt?

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