Auf Differnzierbarkeit prüfen

27.06.2012, 16:45	Rony	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf Differnzierbarkeit prüfen Hallo Leute, ich habe hier folgende Funktion welche ich auf Differnzierbarkeit prüfen soll: $\begin{eqnarray} f(x,y)=\begin{cases} x^{\frac{4}{3}}\cdot sin(\frac{y}{x}) , & \mbox{für } x \mbox{ ungleich 0} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ =0 } \end{cases} \end{eqnarray}$ Also für $\begin{eqnarray} x\neq 0 \end{eqnarray}$ ist es klar, bleibt also zu prüfen für (0,0). Also muss doch gelten $\begin{eqnarray} f_x(0,0)=\lim_{(x,0) \to (0,0)} \frac{f(x,0)-f(0,0)}{x} = ? \end{eqnarray}$ Jetz müsste dieser Grenzwert 0 sein, allerdings bin ich mir unsicher wie ich den hier bilden kann. Wenn die Funktion f stetig wäre, könnte ich den Limes direkt oben reinziehen, also direkt den Funktionswert an der stelle (0,0) betrachten. Dann würde sich $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \frac{0}{x} = 0 \end{eqnarray}$ ergeben. Das selbe bliebe dann noch für y zu prüfen. Ich habe aber keine ahnung ob das so überhaupt stimmt. Und wenn ja, ist die Funktion überhaupt stetig ? Also das der Sinus stetig ist weiss ich, aber die Funktion hängt nun von zwei variablen ab, kann man das dann immernoch einfach so verwenden, oder muss man das zeigen ? Vielen dank schonmal.
27.06.2012, 16:54	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Was hindert dich daran im Zähler die Definition von f einzusetzen, wenn da beides mal 0 steht, dann ist der Grenzwert einer Konstanten zu bilden. Aber beachte, dass der Nullpunkt nicht der einzige fragliche Punkt ist, an dem noch Differenzierbarkeit zu untersuchen ist.
27.06.2012, 20:45	Rony	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah okay. aber reicht das schon aus um davon auzugehen das de FUnktion dann diffbar ist. War da nicht irgendwas mit lineare Abbildung usw. ?

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