Ungleichung zeigen

27.06.2012, 19:06	Yakmiras	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung zeigen Zu zeigen ist, dass für alle positiven reellen Zahlen $\begin{eqnarray} x,y,z\in\mathbb{R} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} xyz=1 \end{eqnarray}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray} x^2+y^2+z^2\geq x+y+z \end{eqnarray}$ gilt. Meine Frage dazu: Das aktuelle Thema sind Untermannigfaltigkeiten, Extrema mit Nebenbedingungen, implizite Funktionen etc. Wo ist der Zusammenhang? Für mich kommt so ne Ungleichung irgendwie einfach aus dem nichts und daher sehe ich keinen Ansatz außer mit dem Holzhammer rumzubruteforcen.
27.06.2012, 19:30	lp-raum	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst die Funktion $\begin{eqnarray} x^2+y^2+z^2-x-y-z \end{eqnarray}$ unter der Nebenbedingung $\begin{eqnarray} xyz=1 \end{eqnarray}$ (definiert eine 2-dimensionale Mannigfaltigkeit, die Rangbedingung ist noch zu prüfen) minimieren und feststellen, dass das Minimum $\begin{eqnarray} \geq 0 \end{eqnarray}$ ist.
27.06.2012, 19:34	Yakmiras	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hört sich nach ner guten Idee an, danke!
29.06.2012, 17:23	Yakmiras	Auf diesen Beitrag antworten »
Leider komme ich auf nichts. Zunächst kann man ja feststellen, dass $\begin{eqnarray} M:=\lbrace(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}:xyz=1\wedge x,y,z>0\}\subset\mathbb{R}^{3} \end{eqnarray}$ tatsächlich eine 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit definiert: Betrachten wir $\begin{eqnarray} h:\mathbb{R}^{3}\setminus\{0\}\to\mathbb{R},h(x,y,z):=xyz-1 \end{eqnarray}$ , so gilt $\begin{eqnarray} M\cap (\mathbb{R}^3\setminus \{0\})=h^{-1}(0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \operatorname{grad}h(x,y,z)=(yz,xz,xy)\neq0. \end{eqnarray}$ Dann sagt die notwendige Bedingung für Extrema, dass gelten muss $\begin{eqnarray} \operatorname{grad}f(x,y,z)=\lambda\operatorname{grad}h(x,y,z) \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} (2x-1,2y-1,2z-1)=\lambda(yz,xz,xy) \end{eqnarray}$ . Zusammen mit der Nebenbedingung führt das auf die Gleichungen $\begin{eqnarray} 2x-1&=&\lambda yz\\2y-1&=&\lambda xz\\2z-1&=&\lambda xy\\xyz-1&=&0. \end{eqnarray}$ Sind die Gedanken bis hierher richtig? Wenn ja, wie löst man dieses Gleichungssystem? Ich komme auf keine Lösung.
29.06.2012, 17:31	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Alternative Beweisvariante: Ich würde es mit AMGM angehen, damit erhält man $\begin{eqnarray} \frac{4x^2+y^2+z^2}{6} \geq \sqrt[6]{(x^2)^4y^2z^2} = x\sqrt[3]{xyz} \end{eqnarray}$ Zyklische Vertauschung und Summation der Ergebnisse liefert dann die Behauptung.

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