Probleme mit Geometrie

27.06.2012, 20:26

MathematikNoobie

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Probleme mit Geometrie

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich habe momentan große Probleme mit meinem "lieblings" Themengebiet Geometrie.
Irgendwie scheine ich da überhaupt nichts mehr zu verstehen.

Es geht um folgende Aufgaben:

1. Einem Kreis k (M;r) ist ein gleichseitiges Dreieck einbeschrieben. Welche Länge hat eine Dreiecksseite?
(Bedenken Sie, dass M der "Schwerpunkt" des Dreiecks ist.)

2. In dem nebenstehenden gleichschenklig rechtwinkligen Dreieck hat a die Länge 5cm. Bestimmen die Länge von h.

3. Begründen sie, dass die Formel " a = \sqrt{2} * h " den zusammenhang zwischen a und h beschreibt. (Ínbezug auf das Dreieck aus Afg.1)

Hoffe Ihr könnt mir helfen auch wenn es sicher unhöflich von mir ist hier ohne große eigene Ideen einfach meine Probleme zu schildern.

Meine Ideen:
Habe leider wenige, bzw. garkeine Ansätze für die Lösung.

Zu Afg.1 : Vllt. sollte man zuerst das Dreieck in 3 Teildreiecke aufteilen. Um dann mithilfe des Radius und des Winkels eines Teildreiecks auf die Seitenlänge schließen zu können?

Zu Afg.2 : Ich glaube mit dem Sinus kann man irgendwie auf die Höhe schließen ? Oo

Zu Afg.3 : Überhaupt keine Ideen.

27.06.2012, 20:43

shipwater

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Hallo,

1. Du weißt, dass der Abstand vom Kreismittelpunkt (=Schwerpunkt des gleichseitigen Dreiecks) zu einem Eckpunkt des gleichseitigen Dreiecks gleich dem Radius des Kreises ist. Diese Strecke entspricht aber gerade $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ der Höhe, sprich: $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}h=r \end{eqnarray*}$
Mit dieser Erkenntnis kannst du letztendlich auch auf die Seitenlänge $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ schließen. Denn kennst du $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ dann kannst du mit dem Satz des Pythagoras auch $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ermitteln. Reichen dir diese Tipps schon für 1.?

Viele Grüße, Shipwater

27.06.2012, 21:24

MathematikNoobie

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Danke für deine schnelle Antwort!

Zumindest kann ich schoneinmal ansatzweise nachvollziehen wie du das meinst.

Aber wie schließe ich von r auf a ?

So ganz hab ich's leider noch nicht raus. Hammer

Hammer

27.06.2012, 21:36

shipwater

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Wie schon gesagt gilt $\begin{eqnarray*} r=\frac{2}{3}h \end{eqnarray*}$ . Versuche nun noch $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ auszudrücken. Dafür kannst du entweder in der Formelsammlung nachsehen oder es selbst mit dem Satz des Pythagoras herleiten.

Viele Grüße, Shipwater

27.06.2012, 21:58

MathematikNoobie

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Dann ist
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} r + r = h \end{eqnarray*}$

Und daraus nun mit dem Pythagoras a bestimmen?

Irgendwie macht's nicht klick bei mir. unglücklich

unglücklich

Edit Equester: Latexklammern eingefügt.

27.06.2012, 22:19

MathematikNoobie

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Nachtrag:

Geht das vllt. in die richtige Richtung?
$\begin{eqnarray*} a = (\frac{2}{3}r + r * 2) / \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

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27.06.2012, 22:41

shipwater

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Nein, das sieht leider alles nicht richtig aus. Finde doch nun erstmal heraus, welche Beziehung in einem gleichseitigen Dreieck zwischen der Höhe $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ und der Seitenlänge $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ besteht. Das kannst du notfalls auch hier nachlesen. Der Nachweis erfolgt relativ schnell mit dem Satz des Pythagoras über $\begin{eqnarray*} \left(\frac{a}{2}\right)^2+h^2=a^2 \end{eqnarray*}$

Viele Grüße, Shipwater

28.06.2012, 01:15

MathematikNoobie

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Danke Dir schon einmal für deine Mühen. Geometrie war noch nie so richtig mein Fall.

So wie ich das jetzt aber verstehe, ist die Höhe $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{3}}{2} * a \end{eqnarray*}$

Bedeutet dies dann im Umkehrsschluss, dass a gleich [latex] \frac{2}{3} * h [latex] ist?

Langsam mache ich mir Sorgen um meinen Geisteszustand. verwirrt

verwirrt

28.06.2012, 01:35

Dopap

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Zitat:

Original von MathematikNoobie

Bedeutet dies dann im Umkehrsschluss, dass a gleich $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} * h \end{eqnarray*}$ ist?

immer !!die VORSCHAU bemühen bevor man abschickt.
---------------------------------------------------------------------

nee
aber $\begin{eqnarray*} a= \frac 2 {\sqrt 3}h \end{eqnarray*}$ müsste passen .

Für den Geisteszustand sind wir nicht zuständig, aber meistens redet man sich sowas nur ein Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.06.2012, 06:32

MathematikNoobie

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Entschuldigt bitte. Ich habe den "/" vergessen und wollte desshalb nicht noch einen weiteren Post erstellen. Ich glaube, ich muss mir hier mal einen Acount erstellen.

Dann war ich ja nah dran an der Lösung. Hammer

Hammer

Danke Euch!

Für Aufgabe 2 gilt doch dann die Formel $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{3}}{2} * a \end{eqnarray*}$ Oder?

28.06.2012, 10:09

shipwater

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Welches Ergebnis hast du denn nun schließlich bei der 1. heraus?
Bei 2. hast du nun kein gleichseitiges Dreieck mehr, sondern ein gleichschenkliges, rechtwinkliges Dreieck. $\begin{eqnarray*} h=\frac{\sqrt{3}}{2}a \end{eqnarray*}$ gilt allerdings nur im gleichseitigen Dreieck. In der Aufgabenstellung ist ja von einem "nebenstehenden" Dreieck die Rede. Könntest du das vielleicht hochladen? Oder uns zumindest sagen, ob $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ nun die Basis oder einen Schenkel darstellt? Letztlich wird es wohl auf Pythagoras bzw. Winkelfunktionen hinauslaufen.

Viele Grüße, Shipwater

28.06.2012, 18:19

MathematikNoobie

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Uff, stimmt ja die Aufgabe ist noch garnicht gelöst. O.o

Jetzt kommt doch der Pythagoras ins Spiel oder?

Kann hier leider als unregistrierter Besucher keine Bilder verlinken. Werde ich aber nachholen. Sobald ich wieder zu Hause bin, werde ich mir hier mal ein Konto erstellen. smile

smile

28.06.2012, 19:56

shipwater

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1. Aus $\begin{eqnarray*} r=\frac{2}{3}h \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h=\frac{\sqrt{3}}{2}a \end{eqnarray*}$ folgt doch $\begin{eqnarray*} r=\frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a \end{eqnarray*}$ . Das brauchst du nun nur noch nach $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ aufzulösen.

Viele Grüße, Shipwater

29.06.2012, 20:57

MathematikNoobie1

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Hmm... Stimmt: $\begin{eqnarray*} a = \sqrt{3} * r \end{eqnarray*}$ ?

Merkwürdig. Nun habe ich mir eben einen Account erstellt aber habe nicht die Berechtigung damit Antworten zu schreiben. Muss der Account etwa erst durch einen Admin freigeschaltet werden?

Da es aber ein gleichschenkliges Dreieck ist, sind ja nur zwei Seiten gleich lang. Die Schenkel, die in der Zeichnung beide mit "h" beschriftet sind.

"a" Stellt somit wohl die Basis da.

Wenns mit dem Acc. noch klappt, lade ich sonst das Bild nochmal hoch.

Vielen Dank aber nochmal für deine geduldige Hilfe. smile

smile

29.06.2012, 22:39

shipwater

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Der Satz des Pythagoras hilft dir weiter.

Gruß Shipwater

01.07.2012, 18:02

MathematikNoobie1

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Hmm.. Irgendwas stimmt doch da nicht. Ich kann noch immer keine Antworten mit meinem Account schreiben. verwirrt

verwirrt

Und nun nochmal zur ("never ending"- )Aufgabe. ^^

Also muss der Pythagoras nach a umstellt werden. (?)

$\begin{eqnarray*} c² - b² = a² \end{eqnarray*}$ ??

Hätte nie geadcht, dass mir diese Aufgabe deartige Schwierigkeiten bereitet. xD
Da ist ja so manch Algebra einfacher. :P

01.07.2012, 18:06

shipwater

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Was ist a, was b, was c?

01.07.2012, 18:31

MathematikNoobie1

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a ist ja gesucht.

b ist doch dann: $\begin{eqnarray*} r=\frac{2}{3}h \end{eqnarray*}$ und
c : $\begin{eqnarray*} h=\frac{\sqrt{3}}{2}a \end{eqnarray*}$

01.07.2012, 18:41

shipwater

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Bei welcher Aufgabe bist du denn jetzt?

01.07.2012, 18:52

MathematikNoobie1

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Noch bei Afg. 1. ? xD

Ich dachte, dass mein errechnetes Ergebnis ( $\begin{eqnarray*} a = \sqrt{3} * r \end{eqnarray*}$
) falsch war und ich den Pythagoras dazu verwenden sollte.

Das war dann wohl auf Aufgabe 2 bezogen.

Für Aufgabe 2 wäre

a (5cm) dann doch c²

und b² und c² die beiden Katheten (h).

Oder?

01.07.2012, 19:25

MathematikNoobie1

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Sry für den Doppelpost, aber meine natürlich:

b² und a² die beiden Katheten (h)

01.07.2012, 20:00

shipwater

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Zu 1. $\begin{eqnarray*} a=\sqrt{3}r \end{eqnarray*}$ ist richtig.
Zu 2. Du meinst das richtige also es gilt $\begin{eqnarray*} h^2+h^2=a^2 \end{eqnarray*}$

Gruß Shipwater

01.07.2012, 20:09

MathematikNoobie1

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Entschuldige das Missverständis. ^^

Zu Afg.2: Und anschließend noch die Wurzel ziehen und ich hätte die Länge von h errechnet oder?

01.07.2012, 20:15

shipwater

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Wurzel ziehen und dann noch durch $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ dividieren.

01.07.2012, 20:34

MathematikNoobie1

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Also:

$\begin{eqnarray*} h² + h² = 25 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{2} } \end{eqnarray*}$

Dann habe ich für h = 3,535 ~ 3,54cm raus.

Stimmt das?

01.07.2012, 23:04

shipwater

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Sieht gut aus.

02.07.2012, 18:11

MathematikNoobie

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smile

Sehr gut. Vielen Dank nochmal an dieser Stelle für deine Hilfe!

Nun habe ich hier noch zwei weitere Aufgaben... Ups

Ups

1. Begründen Sie, dass die folgende Formel den Zusammenhang zwischen a und h beschreibt.
$\begin{eqnarray*} a = \sqrt{2} * h \end{eqnarray*}$

Also, die Formel habe ich ja eben quasi in leicht veränderter Form auf Afg.2 angewendet. Aber wie Begründet man sowas??
Vllt. irgendwie folgendermaßen (?): Weil $\begin{eqnarray*} \alpha^2 = h^2 + h^2 \end{eqnarray*}$ folgt, $\begin{eqnarray*} 2 * h^2 = a^2 \end{eqnarray*}$ und um daraus auf a schließen zu können, muss die Wurzel gezogen werden: $\begin{eqnarray*} a = \sqrt{2} * h \end{eqnarray*}$

Und die letzte Aufgabe:
Zu sehen ist ein regelmäßiges Achteck mit einer zum Teil schraffierten Fläche. Begründe mithilfe von Aufgabe 1 (Die oben, mit dem Beweis), oder anderen Überlegungen, dass der schraffierte Anteil den halben Flächeninhalt des gesamten Achtecks hat.

Hmm.. Hier habe ich leider mal wieder keine Ahnung, wie man soetwas begründen soll.
Aber wenigstens, kann ich diesesmal ein Bild des Achtecks hier mit einfügen. smile

smile

Die Aktivierungsmail war im Spamordner gelandet...-.-

[attach]25177[/attach]

Hoffe da kann mir nochmal jemand helfen. Würde mich freuen.

Edit opi: Bild eingefügt, Link entfernt. Bilder bitte direkt im Board hochladen, sie gehen sonst irgendwann verloren.

02.07.2012, 23:23

shipwater

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Schau dir mal hier die Formeln an.

03.07.2012, 00:40

MathematikNoobie

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Sry wegen dem Bild, aber irgendwie funktionierte es nicht mit dem Bild-Einfügen-Button.. Bestimmt mach ich irgendetwas falsch.^^ Aber danke für die Korrektur.

Hmm.. Ich nehme an, du meinst die des Flächeninhaltes: $\begin{eqnarray*} A = 2a²(1+\sqrt{2} ) \end{eqnarray*}$

Also dann vielleicht etwas wie: Weil $\begin{eqnarray*} a = \sqrt{2} * h \end{eqnarray*}$ den halben Flächeninhalt beschreibt?

Bzw. , $\begin{eqnarray*} a = \sqrt{2} * h \end{eqnarray*}$ ein "a" berechnet?

Oo

03.07.2012, 11:50

shipwater

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Eine Seite des Rechtecks kennst du schon, die andere kannst du mit Pythagoras ermitteln, da du auch die Länge der großen Diagonale kennst. Wie gesagt steht alles hier.
Edit: Für einen alternativen Weg kannst du dir mal das angefügte Bild ansehen. Mit dem Tangens kannst du $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ermitteln.

Gruß Shipwater

03.07.2012, 17:30

MathematikNoobie

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Also Du meinst, dass a = $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} * h \end{eqnarray*}$ ist oder?

Aber woher kenne ich die Länge der großen Diagonale (c) ?

03.07.2012, 18:08

shipwater

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Steht bei Wikipedia. Bei meinem alternativen Weg brauchst du die große Diagonale nicht.

03.07.2012, 19:31

MathematikNoobie

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verwirrt

Meinst du diesen Punkt um die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks zu berechnen:
$\begin{eqnarray*} A' = \frac{1}{2} * a' * r \end{eqnarray*}$ ?

Das müsste dann ja nurnoch mal 2 genommen werden und dann hätte ich den Flächeninhalt der beidenTeildreiecke und somit bewiesen, dass die schraffierte Fläche die Hälfte des Achtecks einnimmt oder?

03.07.2012, 21:16

shipwater

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Du sollst $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ mit dem Tangens berechnen.

03.07.2012, 21:41

MathematikNoobie

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Hmm... Entschuldige, aber wie mach ich das? unglücklich

unglücklich

Irgendwie fällt der Groschen nicht.

03.07.2012, 22:06

shipwater

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Na mit dem Tangens, ist dieser dir denn bekannt?

03.07.2012, 23:45

mYthos

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Im Interesse der Übersichtlichkeit des Themas sind neue Aufgaben bzw. neue Fragen auch in einem neuen Thread zu eröffnen!
Dann kann man auch auf so allgemeine Überschriften wie "Probleme mit Geometrie" verzichten. Wie ein guter Titel lauten sollte, kann man in den Forumsregeln nachlesen.

Bitte in Zukunft darauf achten. Danke.

mY+

04.07.2012, 00:11

MathematikNoobie

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Sry mythos, werde in Zukunft darauf achten. smile

smile

Kann ich hier aber noch weitermachen? Die letzte Frage muss nur noch geknackt werden. Es liegt nur an meiner Blindheit momentan. Hammer

Hammer

Der Tangens ist mir so halbwegs bekannt. Das Längenverhältnis zwischen Gegenkathete und Ankathete. Oder ? Allerdings weiß ich nicht, wie ich mit ihm jetzt weiterkomme. Bzw. wie die Rechenschritte sind unglücklich

unglücklich

So langsam muss doch auch dein Geduldsfaden mit mir reißen. unglücklich

unglücklich

04.07.2012, 00:36

mYthos

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$\begin{eqnarray*} \tan \alpha = \frac b a \end{eqnarray*}$

Stelle diese Gleichung nach b um und schon bist du fertig (a und der Winkel sind bekannt!)

mY+

04.07.2012, 00:48

MathematikNoobie

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a ist: $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} * h \end{eqnarray*}$ Oder wie ?

Und der Winkel 67,5°

Wäre also dann:

$\begin{eqnarray*} b = tan \alpha * a \end{eqnarray*}$ ?

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