quadratische Irrationalzahl

28.06.2012, 01:00	eamon	Auf diesen Beitrag antworten »
quadratische Irrationalzahl Also ich habe folgendes Problem: Sei x eine quadratische Irrationalzahl, d.h. Nullstelle von einem quadratischen Polynom $\begin{eqnarray} p \in \mathbb{Z}\left[x\right] , p \neq 0, deg(p) = 2 \end{eqnarray}$ Dann sollen $\begin{eqnarray} a,b,c,d \in \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ existieren sodass gilt $\begin{eqnarray} x = \frac{ax+b}{cx+d} \land ad-bc = 1, c \neq 0 \end{eqnarray}$ Ich weiß bereits, dass so ein x eine periodische Kettenbruchentwicklung besitzt. Wenn diese rein periodisch ist, also keine Vorperiode existiert, $\begin{eqnarray} x = \left[\overline{a_0,a_1, ... , a_r}\right] \end{eqnarray}$ dann ist die Behauptung relativ einfach zu zeigen: Wir haben eine sehr nützliche Rekursionsformel einmal bewiesen: $\begin{eqnarray} h_{-2} = 0, h_{-1} = 1, h_n = h_{n-1} \cdot a_n + h_{n-2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} k_{-2} = 1, k_{-1} = 0, k_n = k_{n-1} \cdot a_n + k_{n-2} \end{eqnarray}$ Somit gilt dann, wenn die Kettenbruchentwicklung rein periodisch wäre: $\begin{eqnarray} x = \left[\overline{a_0,a_1, ... , a_r}\right] \Rightarrow x = \left[a_0,...a_r, x\right] \end{eqnarray}$ Weiter mit dieser Formel gilt $\begin{eqnarray} \left[a_0,...a_r, x\right] = \frac{xh_r+h_{r-1}}{xk_r+k_{r-1}} \end{eqnarray}$ Es gilt weiter $\begin{eqnarray} h_n < h_{n+1} \end{eqnarray}$ für genügend große n. Außerdem gilt dann auch hier $\begin{eqnarray} ad-bc = h_r k_{r-1} - h_{r-1}k_r = - \left(-1\right)^(r-1) \end{eqnarray}$ . Dies haben wir ausch schon gezeigt Sollte r ungerade sein, können wir auch stattdessen 2r nehmen, sodass dann die Behauptung zumindest für rein periodische Kettenbrüche erfüllt wäre. Mein Problem ist jetzt, dass ich aus diesem Fall nicht den allgemeinen Fall herleiten kann. Weiter auch wenn es mir gelingen würde die Vorperiode aufzulösen, dann wäre der unreine Kettenbruch aber in Abhängigkeit von einem reinen Kettenbruch, und nicht von sich selber. Ich habe auch versucht, einfach draufloszuprobieren, da x ja eine Nullstelle eines quadratischen Polynoms ist. $\begin{eqnarray} cx²+\left(d-a\right)x-b=0 \end{eqnarray}$ liefert sofort die Formel. Doch muss man irgendwie die Koeffizienten normieren um $\begin{eqnarray} ad-bc = 1 \end{eqnarray}$ zu erreichen. Schwierige Sache, ich habe auch mal Wolframalpha gefragt, zu den Lösungen dieses Problems, allerdings, wurde das häßlicher als erwartet, und diese Lösungen a,b,c,d liegen nicht in den ganzen Zahlen... Irgendjemand eine Idee?
28.06.2012, 11:19	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: quadratische Irrationalzahl Naja, ich würde das so sehen, dass ja den Funktionen $\begin{eqnarray} f(x):=\frac{ax+b}{cx+d} \quad (a,b,c,d \in \mathbb Z) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} g(x):=\frac{px+q}{rx+s} \quad (p,q,r,s \in \mathbb Z) \end{eqnarray}$ ja jeweils die Matrizen $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a& b\\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} p& q\\ r & s \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ zugeordnet sind, wobei der Komposition f o g das Produkt der beiden Matrizen zugeordet ist... Kannst du damit etwas anfangen?

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