Eigenraum durch 0-Vektor?

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28.06.2012, 08:48	Hilfloser4	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenraum durch 0-Vektor? Meine Frage: Hey, ich habe zu einer Matrix zunächst 3 Eigenwerte ausgerechnet und beim letzten Eigenwert erhalte ich folgendes: Meine Ideen: Eig(-7) = span ((0/0/0)) Kann das sein, dass der Eigenraum nur aus dem Nullvektor besteht? gruß Hl4
28.06.2012, 08:53	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, der Nullvektor wird in der Definition von Eigenvektoren ausgeschlossen (er wäre sonst Eigenvektor zu jedem beliebigen Wert $\begin{eqnarray} a\in K \end{eqnarray}$ ).
28.06.2012, 09:01	Hilfloser4	Auf diesen Beitrag antworten »
Bedeutet das, ich habe mich verrechnet? Könntest du mal prüfen, ob du beim selben Ergebnis angelangst? Das wäre nett, weil ich sehe keinen Fehler momentan: Matrix ist $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} -6 & 2 & 5 \\ -4 & 3 & 2 \\ -8 & 2 & 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ der Eigenwert dazu soll x = -7 sein. Ich bin so vorgegangen: (A - xEn)c = 0 dann einfach eingesetzt und auf folgende Darstellung gekommen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ -4 & 10 & 2 \\ -8 & 2 & 14 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
28.06.2012, 09:06	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Eigenwert stimmt schon nicht, $\begin{eqnarray} x=-7 \end{eqnarray}$ ist falsch.
28.06.2012, 09:09	Hilfloser4	Auf diesen Beitrag antworten »
Sicher? ...Dann hab ich mich verrechnet. Ich habe rausbekommen, dass x = 2, x = 9, und x = -7 die Eigenwerte sind. Sieht das charakteristische Polynom so aus, weil dann hab ich mich da verrechnet wahrscheinlich: $\begin{eqnarray} f_{A}(x) = x^{3} - 4x^{2} - 59x +126 \end{eqnarray}$
28.06.2012, 09:12	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Da wirst du dich wohl verrechnet haben, das sollte nämlich eigentlich anders aussehen.
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28.06.2012, 09:13	Hilfloser4	Auf diesen Beitrag antworten »
Könntest du mir das charakteristische Polynom vlt aufschreiben? Alles andere rechne ich selbst nur ich finde grade keinen Fehler in meiner Entwicklung
28.06.2012, 09:15	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich will mal nicht so sein, diese Matrix zu entwickeln ist wirklich hässlich: $\begin{eqnarray} \chi_A(x)= -x^3 + 4x^2 - 5x + 2 \end{eqnarray}$ , allerdings solltest du es zur Übung trotzdem nochmal selber berechnen.
28.06.2012, 09:18	Hilfloser4	Auf diesen Beitrag antworten »
danke dir. Da lag ich ja fast richtig mit den anfängen. naja dann rechne ich den rest jetzt mal aus. hast du die laplace entwicklung benutzt? ich hab nämlich einfach nach der 1.zeile entwickelt gehabt. aber ich werd mal sehen wo mein fehler lag und nachrechnen
28.06.2012, 09:24	Hilfloser4	Auf diesen Beitrag antworten »
also die EW müssten dann x = 2, x = 1, x = -1 sein stimmt das?
28.06.2012, 09:48	Hilfloser4	Auf diesen Beitrag antworten »
hey, ich habe gerade die Eigenräume ausgerechnet und zu den ersten beiden EW folgende ER erhalten: $\begin{eqnarray} Eig(2) = span(\begin{pmatrix} \frac{1}{4} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}) = \left\{ a = \lambda(\begin{pmatrix} \frac{1}{4} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}) \| \lambda \in R \right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Eig(1) = span(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}) = \left\{ b = \alpha (\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}) \| \alpha \in R \right\} \end{eqnarray}$ aber beim letzten ER bekomme ich für Eig(-1) schon wieder den Nullvektor, wie kann das denn sein? die Matrix, die ich lösen muss ist doch die folgende: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -5 & 2 & 5 \\ -4 & 4 & 2 \\ -8 & 2 & 8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ aber wenn ich die auf Zeilenstufenform bringen will erhalte ich zum schluss das $\begin{eqnarray} c_{3} \end{eqnarray}$ wieder 0 ist und somit alle anderen auch, wo liegt mein Fehler? Und eine Frage noch: im ersten ER: da ist keine Angabe für $\begin{eqnarray} a_{3} \end{eqnarray}$ gemacht, ist der ER dann 2-elementig? weil wir hatten letztens eine Aufgabe, in der keine Aussage über $\begin{eqnarray} x_{2} \end{eqnarray}$ gemacht wurde und somit mussten wir noch eine Variable einführen. Muss ich das hier auch?
28.06.2012, 12:53	Hilfloser4	Auf diesen Beitrag antworten »
ok hat sich erledigt habe gerade gesehen, dass -1 kein EW ist sondern 1 ein doppelter EW danke

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