Grenzwert einer Reihe berechenen

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nerd18000 Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert einer Reihe berechenen
Meine Frage:
Hallo mb-community,

so lautet meine frage:

Sei eine Folge in . Zeigen Sie, dass die Teleskopreihe konvergiert genau dann, wenn konvergiert. Berechnen Sie den Grenzwert der Reihe, falls sie konvergiert.

Meine Ideen:
Teil 1 der Aufgabe geht hoffentlich so:
Wenn die Reihe konvergiert, dann ist das ja das Selbe wie:










Ich hoffe das ist richtig. Nr. 2 der Aufgabe bereitet mir noch mehr Sorgen. Wenn ich den Grenzwert der Reihe haben will, muss ich den GW der Partialsummenfolge berechnen. Also:


...und das würde dann so aussehen:

wobei Da man die Klammern weglassen kann, eliminieren sie sich alle gegenseitig und das Ergebnis ist: und weil x = 0 ist es . Aber wie mache ich das jetzt mathematisch korrekt bzw. stimmt das überhaupt was ich da mache? Also es sind immer die ungeraden und die geraden Zahlen die sich gegenseitig aufheben. Wobei die Geraden erst bei 4 anfangen. Also: (1,4) (3,6) (5,8) (7,10)... wobei das die Nr. der Summanden in der Reihe sind. Ich glaube es hat etwas mit diesem Satz zu tun:
Sei eine Reihe, und für alle . Dann gilt: Falls konvergiert, dann auch und die Summen stimmen überein.

Puuhhh, der Text ist auf einmal ziemlich lange geworden. Also gleich mal ein fettes an alle die sich die Mühe gemacht haben, sich das alles durchzulesen
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich mache es etwas kürzer: Zeige (soweit da überhaupt viel zu tun ist) für die n-te Partialsumme die explizite Darstellung

,

womit dann eigentlich die Äquivalenz der Konvergenz von und klar auf der Hand liegt, denn beide Folgen unterscheiden sich ja nur um die additive Konstante .


Reihenwert (darauf bezieht sich wohl Frage 2) folgt natürlich ebenso schnell aus (*): .


Wozu du da im letzten Abschnitt so überkomplizierte Sachen anstellst, leuchtet mir nicht ganz ein. verwirrt
nerd18000 Auf diesen Beitrag antworten »

Hammer Natürlich ist das Ergebnis und weil x = 0 ist es . Da habe ich wohl eine Wurschtl in die Vorzeichen bekommen. Aber da:
Zitat:
Original von HAL 9000

,

womit dann eigentlich die Äquivalenz der Konvergenz von und klar auf der Hand liegt, denn beide Folgen unterscheiden sich ja nur um die additive Konstante .

liegt nur ein Brett vor meinen Augen und nix in meiner Hand ;-)
Also ist jetzt eine wahrscheinlich richtige Vermutung und nun möchte ich Schritt für Schritt zeigen, dass diese stimmt. Zuerst habe ich ein bisschen zu kompliziert gedacht. Da hast du ein wenig entwirrt und dadurch komme ich auf das:

Vielleicht hast du eh das Gleiche gemeint. Danke auf jeden Fall!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Warum ist bei dir plötzlich ? In der allgemeinen Form oben

Zitat:
Original von nerd18000
Sei eine Folge in . Zeigen Sie, dass die Teleskopreihe konvergiert genau dann, wenn konvergiert.

geht es nur um die Konvergenz von , deren Grenzwert kann aber beliebig reell sein.
nerd18000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja aber wenn eine Reihe konvergiert, dann konvergiert die Folge immer gegen Null
nerd18000 Auf diesen Beitrag antworten »

sehe ich das richtig?
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das Reihenglied konvergiert dann gegen Null - NICHT aber !!! Forum Kloppe
nerd18000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von nerd18000











Dann habe ich hier gezeigt, dass der GW von gleich Null ist oder check ichs jetzt schon gar nicht mehr Erstaunt1
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Korrekt ausgeführt lautet die Indexverschiebung .
nerd18000 Auf diesen Beitrag antworten »

jetz fügt sich das ganze puzzle zusammen. Danke! Freude
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