MP über Minimalpolynom und Annihilator

28.06.2012, 10:14	gizeh	Auf diesen Beitrag antworten »
MP über Minimalpolynom und Annihilator Hallo zusammen, habe hier einen Multiple Choice Test zu o.g. Themen. Wäre nett, wenn ihr mal drüber schauen könntet. 1. K Körper, $\begin{eqnarray} p \in K[x] \end{eqnarray}$ , dann gilt: a) p hat immer eine Nullstelle b) Falls p eine Nullstelle $\begin{eqnarray} \lambda \in K \end{eqnarray}$ hat, so ist p ohne Rest durch $\begin{eqnarray} (x-\lambda) \end{eqnarray}$ teilbar c) keine der Aussagen ist richtig d) p hat immer eine Nullstelle, falls $\begin{eqnarray} \mathrm{deg}(p) \geq 1 \end{eqnarray}$ 2. K Körper, $\begin{eqnarray} p \in K[x] \end{eqnarray}$ , dann gilt: a) es gilt immer $\begin{eqnarray} \mathrm{deg}(p)\leq \ \{\lambda \in K \mid p(\lambda) = 0 \} \end{eqnarray}$ b) es gilt immer $\begin{eqnarray} \mathrm{deg}(p)\geq \ \{\lambda \in K \mid p(\lambda) = 0 \} \end{eqnarray}$ c) falls p(x)=0 für alle $\begin{eqnarray} x \in K \end{eqnarray}$ gilt, obwohl p ungleich 0, dann gilt $\begin{eqnarray} K = \mathbb{C} \end{eqnarray}$ d) es kann der Fall auftreten, dass p(x)=0 für alle $\begin{eqnarray} x \in K \end{eqnarray}$ , obwohl p ungleich 0 3. V endlich-dimensionaler K-Vektorraum und $\begin{eqnarray} F \in \mathrm{End}_K(V) \end{eqnarray}$ , dann gilt für den Annihilator Ann(F): a) Falls $\begin{eqnarray} K \neq \mathbb{C} \end{eqnarray}$ , kann der Fall auftreten, dass Ann(F) gleich der leeren Menge ist. b) keine der Aussagen ist richtig c) erfüllen die Polynome $\begin{eqnarray} p,q \in K[x] \end{eqnarray}$ die Bedingung $\begin{eqnarray} p+q \in Ann(F) \end{eqnarray}$ , so folgt bereits $\begin{eqnarray} p,q \in Ann(F) \end{eqnarray}$ d) Gilt $\begin{eqnarray} p \in Ann(F) \end{eqnarray}$ , so sind auch alle Teiler von p in Ann(F) enthalten 4. V endlich-dimensionaler K-Vektorraum und $\begin{eqnarray} F \in \mathrm{End}_K(V) \end{eqnarray}$ , dann gilt für den Annihilator Ann(F): a) keine der Aussagen ist richtig b) Falls $\begin{eqnarray} Ann(F) \neq K[x] \end{eqnarray}$ , dann ist F diagonalisierbar c) es gibt stets ein Polynom $\begin{eqnarray} p \in Ann(F) \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} \mathrm{deg}(p) \geq \mathrm{deq}(q) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} q \in Ann(F) \end{eqnarray}$ d) es gibt stets ein Polynom $\begin{eqnarray} p \in Ann(F) \end{eqnarray}$ , das alle anderen Polynome in Ann(F) teilt 5. V endlich-dimensionaler K-Vektorraum und $\begin{eqnarray} F \in \mathrm{End}_K(V) \end{eqnarray}$ , dann gilt für sein Minimalpolynom $\begin{eqnarray} M_F \end{eqnarray}$ bzw. char. Polynom $\begin{eqnarray} \chi_F \end{eqnarray}$ a) Zerfällt $\begin{eqnarray} \chi_F \end{eqnarray}$ in Linearfaktoren, so zerfällt auch $\begin{eqnarray} M_F \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} \chi_F \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} M_F \end{eqnarray}$ haben die gleichen Nullstellen c) Jede Nullstelle von $\begin{eqnarray} M_F \end{eqnarray}$ ist auch eine von $\begin{eqnarray} \chi_F \end{eqnarray}$ , aber es brauchen nicht alle Nullstellen in $\begin{eqnarray} M_F \end{eqnarray}$ auftreten d) keine der Aussagen ist richtig 6. V endlich-dimensionaler K-Vektorraum und $\begin{eqnarray} F \in \mathrm{End}_K(V) \end{eqnarray}$ , dann gilt für sein Minimalpolynom $\begin{eqnarray} M_F \end{eqnarray}$ bzw. char. Polynom $\begin{eqnarray} \chi_F \end{eqnarray}$ a) Falls $\begin{eqnarray} M_F \end{eqnarray}$ in Linearfaktoren zerfällt, so ist F diagonalisierbar b) Falls $\begin{eqnarray} \chi_F \end{eqnarray}$ in paarweise verschiedene Linearfaktoren zerfällt, so ist F diagonalisierbar c) Ist F diagonalisierbar, dann zerfällt $\begin{eqnarray} \chi_F \end{eqnarray}$ in paarweise verschiedene Linearfaktoren d) Falls $\begin{eqnarray} M_F \end{eqnarray}$ in paarweise verschiedene Linearfaktoren zerfällt, so ist F diagonalisierbar --- Bisher habe ich folgendes: 1) b (ist klar wegen Polynomdivision), bei d bin ich mir nicht ganz sicher, müsste aber eigentlich auch stimmen 2) d (wäre dann ja z.B. ein Polynom ohne absolutes Glied) 3) & 4) bei dem Thema bin ich mir nicht sicher und tendiere erstmal zu "keine Aussage richtig" 5) c (Beispiel: char.Pol=(x-1)(x-2), aber Min.Pol=(x-1)) 6) b (ist Definition, die Rückrichtung c gilt ja im allgemeinen nicht), bei d bin ich mir nicht sicher. Glaube aber eher nicht, siehe Bespiel aus Aufgabe 5 Viele Grüße gizeh
28.06.2012, 10:32	Captain Kirk	Auf diesen Beitrag antworten »
1)d) Gegenbeispiel $\begin{eqnarray} K = \mathbb F_q ;f= 1+ \prod_{x\in K} (X-x) \end{eqnarray}$ b) ist richtig. 2)b) und d) sind richtig. 5)a),b) und c) 6) nur b) Gegenbsp. zur d): 1 auf Haupt und (rechter) Nebendiagonale. Eure Annihilator-Def, ist mir auch unbekannt, die mir bekannten haben nicht so viel mit Polynomringen zu tun. Wie lautet denn eure Def. ?
28.06.2012, 10:43	gizeh	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Captain Kirk, danke erstmal für die Antworten. Unser Definition lautet wie folgt: Sei K ein Körper und A eine K-Algebra mit Einselement. Sei $\begin{eqnarray} B \in A \end{eqnarray}$ . Dann Ann(B) := { $\begin{eqnarray} f \in K[x] \end{eqnarray}$ \| f(B) = 0} Annihilator.
29.06.2012, 18:04	gizeh	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Vollständigkeit halber hier noch die Lösungen: 1) b 2) b & d 3) b 4) d 5) a & b 6) b & d Viele Grüße gizeh

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