Vandermondesche Matrix

30.01.2007, 10:48	Maus1	Auf diesen Beitrag antworten »
Vandermondesche Matrix Morgen, kann man den Beweis, daß die Vandermondesche Matrix regulär ist, auch so führen: Man hat das LGS (i) $\begin{eqnarray} V \cdot a = y \end{eqnarray}$ wobei V:=Vandermondesche Matrix $\begin{eqnarray} a:=\begin{pmatrix}a_0\\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y:=\begin{pmatrix}y_0 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ D.h. es ist $\begin{eqnarray} P(x_i) = \sum_{k=0}^n a_k x_i^k = y_i \end{eqnarray}$ ein Polynom n-ten Grades. Wegen dem Fundamentalsatz besitzt jedes P(x) höchstens n Nullstellen. Betrachtet man in (i) nun das homogene Problem, so gilt $\begin{eqnarray} P(x_i) = y_i = 0 \quad \forall_{i=0,...,n} \end{eqnarray}$ Da P aber höchstens vom Grade n ist, jedoch die (n+1) Nullstellen $\begin{eqnarray} x_0,...,x_n \end{eqnarray}$ besitzt, ist P das Nullpolynom. Also besitzt das homogene Problem nur das Nullpolynom als Lösung, somit ist V regulär. Klappt das oder habe ich etwas übersehen?
30.01.2007, 15:00	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vandermondesche Matrix Die Idee ist richtig. Es muss dann eben schon beweisen sein, dass ein Polynom vom maximal Grad n mit (n+1) Nulstellen nur das Nullpolynom sein kann.

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