Doppelintegral - Integrationsgrenzen

28.06.2012, 20:19

Taufy

Doppelintegral - Integrationsgrenzen

Hi, ich soll ein Doppelintegral berechnen. Mein problem: Ich werde nicht schlau was mine Integrationsgrenzen sein sollen.

$\begin{eqnarray*} \int_B \! xe^y \, dF \end{eqnarray*}$

für die Grenzen heißt es:

$\begin{eqnarray*} B = {(x, y) \in \mathbb R ^2 : 0 \leq y, 0 \leq x\leq 1, y\leq 2x +1} \end{eqnarray*}$

Es wäre freundlich wenn mir jemand das integral mit normalen Grenzen angeben könnte und nicht mit solch einer "verschwereinfachung".

28.06.2012, 20:25

Leopold

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$\begin{eqnarray*} 0 \leq y: \ \text{Halbebene} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 \leq x \leq 1: \ \text{Streifen} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y \leq 2x+1: \ \text{Halbebene} \end{eqnarray*}$

Wo die zwei Halbebenen und der Streifen sich schneiden, das ist dein $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ . Da hilft alles nichts: du mußt hier deinen Bleistift nehmen und den Bereich zeichnen. Und da das kein achsenparalleler Rechtecksbereich ist, wird das auch nichts mit "einfachen" Integrationsgrenzen. Jedenfalls nichts mit "supereinfachen".

28.06.2012, 20:50

Taufy

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Leider hilft mir das nicht weiter. Habe keine Ahnung wie ich das überhaupt zeichnen soll, bzw. was eine Halbebene oder ein Streifen sein sollen. Hab mir es jedenfalls mal bei Wolfram Alpha zeichnen lassen. Leider kann ich denn link nicht Posten da ich hier nich registriert bin.

Könnte es sein das meine Grenzen dann für x 0 & 1 sind und bei y 1 & 3?

28.06.2012, 21:11

Leopold

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Ich nenne dir fünf Punkte $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ nämlich

$\begin{eqnarray*} (-4,3), \, (6,19), \, (-2,-8), \, (1,-7), \, (1,1) \end{eqnarray*}$

Welche erfüllen die Bedingung $\begin{eqnarray*} y \geq 0 \end{eqnarray*}$ ? Wo liegen diese Punkte im Koordinatensystem? Wo liegen schließlich alle Punkte $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y \geq 0 \end{eqnarray*}$ ?

28.06.2012, 21:37

Taufy

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Sorry, das hilft mir gar nicht weiter. Kann nur sagen das P1, P2 & P5 die bedingung y≥0 erfüllen. Aber was haben die mit meinen Integrationsgrenzen zu tun?

28.06.2012, 21:40

Leopold

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Ich kann dir diese Frage nicht beantworten. Nicht weil ich nicht wüßte, wie es geht, sondern weil ich es dir nicht erklären kann, da dir jede Voraussetzung zum Verständnis fehlt. Ich versuche stattdessen, mit dir herauszufinden, wie der Bereich, über den zu integrieren ist, aussieht. Aber du weigerst dich beharrlich, meine Fragen zu beantworten.

Zitat:

Original von Leopold
Wo liegen diese Punkte im Koordinatensystem? Wo liegen schließlich alle Punkte $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y \geq 0 \end{eqnarray*}$ ?

28.06.2012, 21:48

Taufy

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Ich habe leider keine Ahnung worauf du hinaus möchtest. Wenn ich die bedingung B bei Wofram Alpha zeichen lasse erhalte ich eine abgeschnittenes Dreieck. Nur P5 hat damit etwas zu tun. Aber zu deiner frage P1 liegt im zweiten un P2 & P5 im ersten Quadranten des Koordinatensystems.

28.06.2012, 21:53

Leopold

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Immer noch nicht vollständig.

Zitat:

Original von Leopold
Wo liegen schließlich alle Punkte $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y \geq 0 \end{eqnarray*}$ ?

28.06.2012, 21:59

Taufy

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Nicht Vollständig? Jetzt komm ich garnich mehr weiter... Ich habe doch deine Frage beantwortet...

28.06.2012, 22:14

Leopold

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Du hast nur beantwortet, wo die drei der fünf Punkte liegen. Aber wo liegen alle $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y \geq 0 \end{eqnarray*}$ ?

28.06.2012, 22:20

Taufy

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Das war doch aber deine Frage! nur diese drei Punkte erfüllen y größergleich 0.
Die andere Punkte nicht und somit sind diese doch nicht weiter wichtig.

Also ich gebs auf...

28.06.2012, 22:34

Leopold

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Ich habe doch, um dir den Einstieg zu erleichtern, aus den unendlich vielen Punkten, die $\begin{eqnarray*} y \geq 0 \end{eqnarray*}$ erfüllen, drei ausgewählt. Aber es sind unendlich viele, die das erfüllen! Und wo liegen alle diese Punkte?

28.06.2012, 22:40

Taufy

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Wie gesagt ich stehe komplett auf dem Schlauch. Mir helfen jetzt nur die Integrationsgrenzen und die erklärung warum. Zu den Punkten kann ich nur sagen das alle oberhalb der y - Achse liegen, aber was das bringen soll, keine Ahnung.

28.06.2012, 22:46

Leopold

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Erstens liegen alle diese Punkte oberhalb oder auf der $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Achse. Und zweitens erfüllt jeder Punkt oberhalb oder auf der $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Achse die Bedingung $\begin{eqnarray*} y \geq 0 \end{eqnarray*}$ . Damit wird durch $\begin{eqnarray*} y \geq 0 \end{eqnarray*}$ eine Halbebene beschrieben, eben die Halbebene ab der $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Achse aufwärts.
Das war die erste Bedingung deines Bereichs $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ . Jetzt würde ich einfach einmal ein Schmierblatt nehmen und diese Halbebene schraffieren.

Dann an die nächste Bedingung: $\begin{eqnarray*} 0 \leq x \leq 1 \end{eqnarray*}$ . Vielleicht geht es dieses Mal schneller. Wo liegen alle Punkte, die diese Bedingung erfüllen? Wenn du sie gefunden hast, schraffierst du den Bereich mit anderer Schraffur.

Und wo beide Schraffuren sich überschneiden, liegen alle Punkte, die

$\begin{eqnarray*} y \geq 0 \, , \ \ 0 \leq x \leq 1 \end{eqnarray*}$

erfüllen. Dann noch die letzte Bedingung.

28.06.2012, 23:00

Taufy

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Das oberhalb der y Achse war ein Tippfehler von mir, ich meinte oberhalb der x - Achse.

Und wenn ich diese Schraffurmethode nutze ergibt sich ein dreicksteil mit den Eckpunkten (0, 0), (1, 0), (1, 3) & (0,1). Vorausgesetz ich mache es richtig weil diese Mengengeschicht wurde mir nur mangelhaft vermittelt. Wie gesagt wenn ich die Gerenzen hätte würde ich wohl darug kommen.

28.06.2012, 23:03

Leopold

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Jetzt habe ich mich auch verplappert. Natürlich: oberhalb der $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse! Die Figur $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ nennt sich übrigens Viereck, genauer ist es ein Trapez, sogar ein rechtwinkliges Trapez. Und dieses Trapez ist dein Integrationsbereich.

28.06.2012, 23:25

Taufy

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Ok, stimmen die eckpunkte die ich gennant habe?

Wenn ja sind dann meine Grenzen für dx 0 & 1 und für dy 0 & 2x + 1 ? Wenn das stimmen sollte muss ich dan erst nach y Integrieren, oder ist das egal?

28.06.2012, 23:32

Leopold

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Es ist egal, ob man zuerst nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und dann nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ integriert oder umgekehrt. Allerdings hängt die Wahl der Grenzen von dieser Entscheidung ab. Und so, wie du sie gewählt hast, mußt du zunächst über $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ (äußeres Integral) und dann über $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ (inneres Integral) integrieren.

28.06.2012, 23:48

Taufy

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Ok habe jetzt mal integriert. Wenn ich erst nach x mit den grenzen 0 & 1 integriere und dann nach y mit 0 & 2x +1 habe ich kein richtiges ergebnis sondern nur eine neue Funktion und zwar $\begin{eqnarray*} (e^{2x + 1})/2 \end{eqnarray*}$ wenn ich aber mit den gleichen Grenzen erst nach y und dann nach x integriere dann bekomme ich ein richtiges ergebniss und zwar $\begin{eqnarray*} (e^{3})/2 \end{eqnarray*}$ . Ok in der Vorlesung wure gesagt das es egal sei ob erst x oder y (Satz von Fubini?). Wo liegt dann jetzt der fehler?

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