Lineare Gleichung mit 3 Formvariablen

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Rajput Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Gleichung mit 3 Formvariablen
Meine Frage:
Hallo auch,

bei mir hängt es mal wieder bei einer Aufgabe.
Ich rätsele da jetzt schon einige Zeit dran rum.

Folgende Gleichung:

a*(x+b)= c*(1- b*x)

ich soll angeben unter welchen Bedingungen für die Formvariablen a, b und c: eine, keine und ganz Q , also unendlich viele Lösungen herauskommen.

Meine Ideen:
Meine Ideen haben sich leider alle als falsch herausgestellt, von dem her kann ich da leider nichts produktives dazu beisteuern.
Die linke Seite der Gleichung ist ja relativ problemfrei aufzulösen.

die rechte läuft bei mir folgendermaßen

= c*(1 - bx)
= c*((-bx)+1) |durch das Minusvorzeichen dreht sich (b*x) -welches ich jetzt denke ich richtigerweise in Klammern setze- in der Klammer ja auf Minus um. Und wenn ich es richtig verstehe, dann nimmt die "+1" in der ersten Klammer ja sowieso die Formvariable "c" an. Hier bin ich jetzt eigentlich schon ratlos.
Auf der rechten Seite komme ich dann irgendwie auf

x* (-c*b)

Weil der Faktor "x" ja nur von den Formvariablen abhängt, oder ?

Also wie ihr sehr herrscht bei mir viel Verwirrung.
Rajput Auf diesen Beitrag antworten »
P.s.
Wäre auch nett wenn mir jemand ein paar links geben könnte wo ich diese Art von Gleichung (ich weiß ja noch nicht mal richtig wie ich sie nennen soll) weiter üben könnte. Das wäre hilfreich.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist wahrscheinlich einfacher, als Du denkst.
Du musst nur beide Seiten ausmultiplizieren und dann nach x umformen.
a,b,c sind dabei Konstanten.
Für die einzelnen Fälle solltest Du deine Rechnung daraufhin überprüfen, ob sie bei ungünstiger Wahl von a,b und/oder c zu problematischen Rechnungen führt.
Rajput Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Helferlein. Leider hilft mir das doch nicht ganz weiter.
Trollface Auf diesen Beitrag antworten »

mmhh... Hilft Dir nicht weiter? Warum denn nur? Also ein bisschen mehr hätte da jetzt schon von dir kommen können unglücklich
Du hättest ja mal wenigstens, das tun können was dir Helferlein vorgeschlagen hat:
Ausmultiplizieren und nach x umstellen:



Jetzt ist es ausmultipliziert. Nun musst du nur noch nach x umstellen. Du erhälst dabei einen Bruch. Dann kannst du dir überlegen was beim Bruchrechnen erlaubt ist und was nicht. Naja und wenn du dann immer noch nicht weiter weißt kannst du immer noch fragen.

Gute Nacht Wink


Edit opi: Beitrag von mir kurz nach Veröffentlichung entfernt, nun wieder eingefügt, siehe hier.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Na dann fang doch zumindest mal mit dem Ausmultiplizieren an:

 
 
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Rajput
Also wie ihr sehr herrscht bei mir viel Verwirrung.

Hallo Rajput,

schau Dir bitte nochmal die Rechenregeln für das Ausmultiplizieren an http://de.wikipedia.org/wiki/Multiplikation#Rechengesetze, insbesondere das Distributivgesetz.
Rajput Auf diesen Beitrag antworten »

@Trollface;

ja, soweit dass die Klammer ausmultipliziert ist, kam ich auch schonmal Augenzwinkern
nur leider hab ich eine Denkblockade bezüglich der Folge.

Intuitiv würde ich sagen:
|* 1/a ?
dann hätte ich
x + b = c/a - c*b*x/a
stehen
nun |-b
und ich bekomme
x = c/a - c*b*x/a - b
tja und jetzt.... da muss ich nochmal länger drüber nachdenken ^^

Ich habe mich heute schon durch ein paar Seiten gearbeitet, und mir nochmal genau das Distributiv und Kommutativgesetz angeschaut. Nur ganz zu meinem Verständnis der Aufgabe hat das noch nicht gereicht.

Danke schonmal für eure Antworten
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Intuition trügt Dich.
Ja, Du könntest teilen, aber was soll das bringen? Prinzipiell versucht man erst einmal alles, was ein x dabei hat, auf eine Seite zu bringen, um es nach Möglichkeit zusammenzufassen.
Danach wird das "Anhängsel" entfernt, um das x alleine stehen zu haben(was ja letztendlich Ziel der ganzen Umformungen ist).

Wenn Dir die Variablen solch große Probleme bereiten, dann rechne doch zuerst einmal den Fall 2*(x+3)= 5*(1- 3x) bis zum Schluss durch und versuche danach die für die Variablen gewählten Werte durch die Variablen zu ersetzten.
Rajput Auf diesen Beitrag antworten »

Wups, hatte mich vertan, Haupt und Formvariable in der Klammer vertauscht, musste leider den ganzen Beitrag wegzensieren Big Laugh


Soooo, die Rechnung in 2 Minuten nochmal mit den Variablen an der richtigen Stelle gemacht:

a(x+b) = c(1-bx)
ax + ab = c - cbx
(abc)x + ab = c |+cbx und Faktoren ausklammern
(abc) x = c -ab |-ab

und jetzt noch die Faktoren von x nach rechts bringen?

x = c-ab / abc

Helferleins Hinweis hat mich meine Schusselei bemerken lassen, natürlich möchte ich die Hauptvariable auf eine Seite der Gleichung bringen ^^
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Wo kommt denn in der dritten Zeile das abc plötzlich her? Vorher hattest Du doch noch ax links und -cbx rechts.
wie Du an dem einfachen Beispiel a=1 und b=0 sehen kannst.
Rajput Auf diesen Beitrag antworten »

Jo, da hast du Recht geschockt

Also schreibe ich:
ax + bcx = c -ab

Jetzt muss ich teilen denke ich Hammer
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Vorher wäre Ausklammern sinnvoll Augenzwinkern
Rajput Auf diesen Beitrag antworten »

ax + bcx = c - ab
(a + bc) x = c - ab | : (a+bc)
x = c - ab / a + bc

uuuund...wie ich das sehe lässt sich da auch nix kürzen oder?
Oder b vielleicht ?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

ZUmindest nichts sinnvolles, stimmt.
Und nun kommt der Knackpunkt: Für welche Werte von a.b.c gibt es
a) keine b) genau eine c) unendlich viele Lösungen?
Dazu musst Du Dir ein paar Gedanken über die Umformungen machen. Sind die an irgendeiner Stelle bei ungünstiger Wahl von a,b,c vielleicht nicht zulässig?
Rajput Auf diesen Beitrag antworten »

Also klar ist mir:
wenn
a + bc [ungleich] 0 dann ist die Lösung c - ab / a + bc
wenn

a + bc = 0
dann fällt die Variable weg, wird also 0
folglich muss ich also 2 Fälle unterscheiden:
ist
c - ab = 0
so ist die Lösungsmenge ganz Q
ist c - ab [ungleich] 0, so ist die Lösungsmenge leer.

Richtig ?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Überlegungen sind völlig richtig Freude
Rajput Auf diesen Beitrag antworten »

Super, 1000 Dank. Wink
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Kleiner Nachtrag: Der Fall a+bc=0 und c-ab=0 lässt sich noch vereinfachen, indem Du einsetzt:
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