Differentialgleichung lösen

29.06.2012, 01:41

kana

Differentialgleichung lösen

Meine Frage:
Guten Abend zusammen!

Wenn ich überprüfen soll, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} f(t)= f(t)= 0 (t\leq0) f(t)= t^{2} (t>0) \end{eqnarray*}$
die Differentialgleichung $\begin{eqnarray*} f'(t)=2\sqrt{| f(t) | } \end{eqnarray*}$
löst, muss ich doch die beiden Fälle f(t) = 0 und f(t) = t^2 einsetzen und vereinfachen bis wieder 0 bzw. t^2 rauskommen, oder?

Meine Ideen:
Das Erste stimmt dann bei mir, aber für $\begin{eqnarray*} f'(t) = 2\sqrt{t^{2} } \end{eqnarray*}$ bekomme ich 2t raus und das würde ja nicht passen.

Habe ich da irgendwas falsch verstanden oder ist die Antwort wirklich, dass die Funktion die DGl nicht löst?

29.06.2012, 10:00

Steffen Bühler

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RE: Differentialgleichung lösen

Zitat:

Original von kana
für $\begin{eqnarray*} f'(t) = 2\sqrt{t^{2} } \end{eqnarray*}$ bekomme ich 2t raus und das würde ja nicht passen.

Wieso nicht? Das ist doch die Ableitung von f(t)=t²!

Viele Grüße
Steffen

04.07.2012, 01:12

kana

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RE: Differentialgleichung lösen
Stimmt Hammer

Mit Differentialgleichungen stehe ich irgendwie auf Kriegsfuß...

Ich habe hier grad noch eine, bei der ich nicht weiterkomme. Vielleicht steh ich ja wieder nur etwas auf dem Schlauch. Wäre jedenfalls dankbar für jeden Tipp (wie man sieht, brauch ich manchmal auch Hilfe für eigentlich Offensichtliches...).

Also gegeben habe ich:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x'(t) \\ y'(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha & -\beta \\ \beta & \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Und soll jetzt mit Hilfe von P(1,0) zwei reelle Lösungen angeben und habe dazu die Eigenwerte $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = i\beta +\alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_2 = -i\beta +\alpha \end{eqnarray*}$ berechnet.
Daraus dann die Eigenvektoren $\begin{eqnarray*} v_1 = \begin{pmatrix} ib \\ b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_2 = \begin{pmatrix} -ib \\ b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und mit $\begin{eqnarray*} e^{it} = cos(t) + i sin(t) \end{eqnarray*}$ komme ich auf die Lösungen $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1(t) \\ y_1(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -sin(\beta t) \\ cos(\beta t) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_2(t) \\ y_2(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -cos(\beta t) \\ -sin(\beta t) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Stimmt das soweit?

Daraus wollte ich jetzt die allgemeine Lösung mit $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} -sin(\beta t) \\ cos(\beta t) \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} -cos(\beta t) \\ -sin(\beta t) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und P(1,0) bestimmen, komme aber auf keine vernünftigen Werte. Für c1 hätte ich Null raus und c2 wäre dann irgendwie auch Null??

04.07.2012, 22:18

kana

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Ich habe nochmal ein bisschen rumgerechnet und mit der allgemeinen Lösungformel $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} = e^{\alpha t} (c_1 \begin{pmatrix} -sin(\beta t)\\cos(\beta t)\end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} cos(\beta t) \\ sin(\beta t) \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$ und P(1,0) die Gleichung $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} = e^{\alpha t} \begin{pmatrix} cos(\beta t) \\ sin(\beta t) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ raus, da c1 = 0 und c2 = 1 ist.

Kann mir jemand sagen, ob das so stimmt?

05.07.2012, 08:13

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von kana
Kann mir jemand sagen, ob das so stimmt?

Ich leider nicht, und hier ist es so, daß normalerweise andere Helfer gar nicht mehr weiter mitlesen, wenn schon eine Antwort da ist. Wenn Du also eine weitere Aufgabe hast, ist es daher besser, einen neuen Thread zu starten.

Viele Grüße
Steffen

07.07.2012, 18:51

kana

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Achso, ok. Trotzdem danke!

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