Eigenwert nxn Matrix

29.06.2012, 12:08

MaxIII

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Eigenwert nxn Matrix

Meine Frage:
Hallo,

ich soll die Eigenwerte folgender nxn Matrix bestimmen.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_{1}a_{1} & a_{1}a_{2} & \hdots & a_{1}a_{n} \\ a_{2}a_{1} & a_{2}a_{2} & & a_{2}a_{n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ a_{n}a_{1} & a_{n}a_{2} & \hdots & a_{n}a_{n} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Um die Eigenwerte zu bestimmen berechenet man zuerst das charakteristische Polynom: $\begin{eqnarray*} \chi_A(\lambda)=\det(A-\lambda I) \end{eqnarray*}$ und anschließend bestimmt man die Nullstellen.

$\begin{eqnarray*} \chi_A(\lambda)=\det(A-\lambda I) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_{1}a_{1}-\lambda & a_{1}a_{2} & \hdots & a_{1}a_{n} \\ a_{2}a_{1} & a_{2}a_{2}-\lambda & & a_{2}a_{n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ a_{n}a_{1} & a_{n}a_{2} & \hdots & a_{n}a_{n} -\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie bestimme ich ersteinmal das charakteristische Polynom. Man könnte das mit dem Entwicklungssatz lösen, aber ich weiß doch schließlich nicht, wie groß die Matrix ist..

29.06.2012, 13:22

Mazze

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Versuch die Matrix mal mit Gauß auf Zeilenstufenform zu bringen, was stellst Du fest ?

01.07.2012, 12:25

MAXIII

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nach umformen bekomme ich jetzt folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & \frac{a_2}{a_1} & \hdots & \frac{a_n}{a_1} \\0 & 0 & & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \hdots & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das heißt ja meine Matrix hat den Rang 1 und meine Eigenwerte wären alle 0?

01.07.2012, 12:42

Mazze

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Zitat:

Das heißt ja meine Matrix hat den Rang 1 und meine Eigenwerte wären alle 0?

Fast, es heißt das n - 1 Eigenwerte 0 sind. Es gibt einen nichtnull Eigenwert abhängig von den a's.

01.07.2012, 12:52

MaxIII

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Zitat:

Original von Mazze

Fast, es heißt das n - 1 Eigenwerte 0 sind. Es gibt einen nichtnull Eigenwert abhängig von den a's.

Wie kommst du darauf?

01.07.2012, 13:16

Mazze

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Du kannst aus Rang = 1 nur schließen dass n - 1 Eigenwerte 0 sind. Der letzte Eigenwert kann durchaus auch 0 sein, aber das hängt dann explizit an den $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ .

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01.07.2012, 13:19

tmo

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Wenn man dem Spaltenvektor mit den Einträgen $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ mal $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ nennt, so ist die Matrix ja gerade $\begin{eqnarray*} aa^T \end{eqnarray*}$ .

Mit dieser Darstellung kann man dann sehr schön argumentieren, wie die Eigenräume (und damit natürlich auch die Eigenwerte) genau aussehen.

01.07.2012, 14:30

MaxIII

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Heißt also ich kann sagen, dass der Rang der Matrix eins ist, demnach die Dimension 1 ist. demnach n-1 Eigenwerte 0 sind und ein Eigenwert diese Form hat: $\begin{eqnarray*} a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + ... + a_{n}^{2} \end{eqnarray*}$

01.07.2012, 14:32

tmo

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Genau. Wie bist du jetzt darauf gekommen? Bzw. wie begründest du dies?

01.07.2012, 15:28

MaxIII

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Auf die Eigenwerte bin ich dann folgendermaßen gekommen:
Ich habe mir die 2x2 Matrix angeschaut:
zum einen dieses: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_{1}a_{1} & a_{1}a_{2} \\ a_{2}a_{1} & a_{2}a_{2} & \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das charakteristische Polynom ist demnach:
$\begin{eqnarray*} x^{2} - a_{1}^2 x - a_{2}^2 x \end{eqnarray*}$

Deren Eigenwerte sind:
$\begin{eqnarray*} <br /> x_1 = 0<br /> x_2 = a_{1}^{2} + a_{2}^{2}<br /> \end{eqnarray*}$

Bei einer 3x3 Matrix sieht das ähnlich aus:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_{1}a_{1} & a_{1}a_{2} & a_{1}a_{3} \\ a_{2}a_{1} & a_{2}a_{2} & a_{2}a_{3}\\ a_{3}a_{1} & a_{3}a_{2} & a_{3}a_{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Deren Eigenwerte sind:
$\begin{eqnarray*} <br /> x_1 = 0<br /> x_2 = 0<br /> x_3 = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{3}<br /> \end{eqnarray*}$

Demnach habe ich daraus geschlussfolgert, da die Matrix ja symmetrisch ist, müssen dies demnach auch die Eigenwerte einen nxn Matrix sein. Also
$\begin{eqnarray*} x_1=0<br /> ...<br /> x_{n-1} = 0<br /> x_n=a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + ... + a_{n}^{2} \end{eqnarray*}$

01.07.2012, 15:48

tmo

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Die Vorhergehensweise ist natürlich durchaus legitim, allerdings ist das noch lange kein Beweis für die Aussage bei allgemeinem n.

01.07.2012, 16:59

MaxIII

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Für das allgemeine n hätte ich keine Idee, wie ich das zeigen sollte. Hätte das demnach so gemacht.

Hättest du denn einen Hinweis, wie man das mit dem n zeigt.

01.07.2012, 17:14

tmo

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Ja, hier:

Zitat:

Original von tmo
Wenn man dem Spaltenvektor mit den Einträgen $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ mal $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ nennt, so ist die Matrix ja gerade $\begin{eqnarray*} aa^T \end{eqnarray*}$ .

Jetzt berechne mal $\begin{eqnarray*} (aa^T)x \end{eqnarray*}$

01.07.2012, 17:38

MaxIII

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Wenn ich das berechne, komm ich auf:
$\begin{eqnarray*} ax *a^{T}x \end{eqnarray*}$

wenn ich jetzt also $\begin{eqnarray*} a= \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ ... \\ a_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ habe, dann ist:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 *x \\ a_2 *x \\ ... \\ a_n *x\end{pmatrix} * \begin{pmatrix} a_1 *x, a_2 *x, ..., a_n*x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und damit komme ich auf die Matrix:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_{1}^2 x^2 & a_{1}a_{2}*x^2 & \hdots & a_{1}a_{n}*x^2 \\ a_{2}a_{1}*x^2 & a_{2}a_{2}*x^2 & & a_{2}a_{n}*x^2 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ a_{n}a_{1}*x^2 & a_{n}a_{2}*x^2 & \hdots & a_{n}a_{n}*x^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

01.07.2012, 17:43

tmo

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Zitat:

Original von MaxIII
Wenn ich das berechne, komm ich auf:
$\begin{eqnarray*} ax *a^{T}x \end{eqnarray*}$

Woher kommt denn plötzlich das zweite x? verwirrt

verwirrt

01.07.2012, 17:59

MaxIII

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Tippfehler..

also:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_{1}^2 x & a_{1}a_{2}*x & \hdots & a_{1}a_{n}*x \\ a_{2}a_{1}*x & a_{2}a_{2}*x & & a_{2}a_{n}*x \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ a_{n}a_{1}*x & a_{n}a_{2}*x & \hdots & a_{n}a_{n}*x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

01.07.2012, 19:38

tmo

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Es muss aber doch ein Vektor herauskommen...

Naja wir gehen mal anders an die Sache ran: Die Summe der Eigenwerte ist doch die Spur.

Wenn aber nur ein Eigenwert ungleich 0 ist...

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