Lineare Abbildungen Beweise

29.06.2012, 11:50

SilverShadow

Lineare Abbildungen Beweise

Hallo!

Hätte Fragen zu einer Aufgabe:

a) Also die Aufgabenstellung verstehe ich, ist ja soweit auch logisch. Allerdings weiß ich nicht wie man hier konkret anfangen könnte. Gibt es denn eine "harte" Definition, wann Gleichheit mit f=g vorliegt?

b) Selbe Sache wie oben, mir fehlt irgendwie ein Anfang. Ich würde auch davon ausgehen, dass die Umkehrung nicht gilt.

Vielen Dank schonmal! smile

29.06.2012, 12:24

Mazze

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Zitat:

Gibt es denn eine "harte" Definition, wann Gleichheit mit f=g vorliegt?

Natürlich, zwei Funktionen $\begin{eqnarray*} f,g: A \to B \end{eqnarray*}$ sind gleich auf A wenn

$\begin{eqnarray*} f(a) = g(a) ~ \forall a \in A \end{eqnarray*}$

gilt. Und genau das ist zu zeigen. Zeige also

$\begin{eqnarray*} f(v) = g(v) \end{eqnarray*}$

Zerlege v dazu in die Basisdarstellung und nutze die Linearität von g,f.

b)

Schreibe auf was es bedeutet dass die $\begin{eqnarray*} f(u_n) \end{eqnarray*}$ linear Unabhängig sind. Nutze wieder die Linearität von f.

29.06.2012, 12:51

SilverShadow

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Also wir wissen ja, dass die Basisvektoren (also die kleinstmögliche Anzahl an lin. unabh. Vektoren die V aufspannt) eingesetzt in g und f jeweils das Gleiche ergeben.

Es gilt doch $\begin{eqnarray*} v=a_1v_1+a_2v_2+...+a_nv_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n \in N , a_n \in R \end{eqnarray*}$

Und wo kann ich jetzt da die Linearität nutzen verwirrt

b) Ja die Bilder sind doch dann gleichzeitig auch Basis des Bilds.
Gleiche Frage wie oben.

29.06.2012, 12:54

Mazze

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Zitat:

Es gilt doch $\begin{eqnarray*} v=a_1v_1+a_2v_2+...+a_nv_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n \in N , a_n \in R \end{eqnarray*}$ Und wo kann ich jetzt da die Linearität nutzen verwirrt

Na offenbar ist doch

$\begin{eqnarray*} f(v) = f(a_1v_1 + a_2v_2 + .... + a_nv_n) = ... \end{eqnarray*}$

Zitat:

b) Ja die Bilder sind doch dann gleichzeitig auch Basis des Bilds.

Von Basis wird nichts gesagt, muss auch nicht sein. Schreibe auf was es heißt dass die Bilder linear Unabhängig sind, und nimm an, die Urbilder wären nicht linear Unabhängig.

29.06.2012, 13:14

SilverShadow

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a) Dann sollte ja
$\begin{eqnarray*} a_1f(v_1)+...+a_nf(v_n) \end{eqnarray*}$ gelten. Wenn ich das dann dastehen habe, kann ich ja das Gleiche mit g machen (ich denke mal man kann hier die gleichen a benutzen) und dann sieht man ja, dass Gleichheit gilt?

b) $\begin{eqnarray*} a_1f(u_1)+....+a_nf(u_n)=0 ; a_n \in R, n \in N \end{eqnarray*}$ ist nur erfüllt mit der trivialen Lösung a=0.

Angenommen die Urbilder wären nicht linear unabhängig, dann gäbe es nichttriviale Lösungen mit
$\begin{eqnarray*} a_1u_1+...+a_nu_n=0 \end{eqnarray*}$ .

Statt $\begin{eqnarray*} a_1f(u_1)+....+a_nf(u_n)=0 \end{eqnarray*}$ könnte ich ja auch schreiben $\begin{eqnarray*} f(a_1u_1+...+a_nu_n)=0 \end{eqnarray*}$ Und wenn es nichttriviale Lösungen des Arguments der Funktion geben würde, wäre die Bedingung der lin. Unabhängigkeit für $\begin{eqnarray*} f(u_1)...f(u_n) \end{eqnarray*}$ ja nicht mehr erfüllt?

29.06.2012, 13:23

Mazze

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} a_1f(v_1)+...+a_nf(v_n) \end{eqnarray*}$ gelten. Wenn ich das dann dastehen habe, kann ich ja das Gleiche mit g machen (ich denke mal man kann hier die gleichen a benutzen) und dann sieht man ja, dass Gleichheit gilt?

Ja so gehts, der Beweis passt in eine Zeile. Es gilt ja $\begin{eqnarray*} f(v_i) = g(v_i) \end{eqnarray*}$ für die Basisvektoren.

Zitat:

Statt $\begin{eqnarray*} a_1f(u_1)+....+a_nf(u_n)=0 \end{eqnarray*}$ könnte ich ja auch schreiben $\begin{eqnarray*} f(a_1u_1+...+a_nu_n)=0 \end{eqnarray*}$ Und wenn es nichttriviale Lösungen des Arguments der Funktion geben würde, wäre die Bedingung der lin. Unabhängigkeit für $\begin{eqnarray*} f(u_1)...f(u_n) \end{eqnarray*}$ ja nicht mehr erfüllt?

Ja, genau so gehts.

29.06.2012, 13:30

SilverShadow

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Super

Dann noch die Umkehrung zur b):

Sind $\begin{eqnarray*} u_1,..., u_n \end{eqnarray*}$ linear unabhängig dann gibt es für $\begin{eqnarray*} a_1u_1+...+a_nu_n=0; a_n \in R, n \in N \end{eqnarray*}$ nur die triviale Lösung.

Also müssen die Bilder wegen $\begin{eqnarray*} f(a_1u_1+...+a_nu_n)=0 \end{eqnarray*}$ auch lin. unabh. sein?

30.06.2012, 08:53

Mazze

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Die Umkehrung ist falsch, überlege Dir was schief gehen kann.

30.06.2012, 10:27

SilverShadow

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Angenommen zwei Vektoren $\begin{eqnarray*} u_1,u_2 \end{eqnarray*}$ bilden auf den gleichen Wert in W ab, also $\begin{eqnarray*} f(u_1)=f(u_2) \end{eqnarray*}$ (was ja durchaus möglich ist) dann sind die Bilder nicht mehr alle linear unabhängig.

30.06.2012, 10:54

Mazze

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So siehts aus. Das trivialste Gegenbeispiel ist $\begin{eqnarray*} f = 0 \end{eqnarray*}$ , die Nullabbildung ist linear, und die Bilder sämtlicher Mengen sind alle linear Abhängig.

Kleine Zusatzfrage : Welche Eigenschaft müsste eine lineare Abbildung f haben, damit auch die Rückrichtung gilt? Augenzwinkern